Выполните номера 8.6-8.12

Краткий ответ:
8.6: а) \(b^{4/5}\); б) \(a^{2/3}\); в) \(c^{2/11}\); г) \(a^{1/5}\).
8.7: а) \(b^{-1/2}\); б) \(x^{3/4}\); в) \(b^{-5/12}\); г) \(a^{2/3}\).
8.8: а) \(7\); б) \(10\); в) \(3\); г) \(5\).
8.9: а) \(243\); б) \(0{,}064\); в) \(\frac{81}{16}\); г) \(0{,}01\).
8.10: а) \(\frac19\); б) \(\frac16\); в) \(\frac14\); г) \(\frac1{49}\).
8.11: а) \(\frac7{25}\); б) \(\frac1{270}\).
8.12: а) \(\frac12\); б) \(\frac12\); в) \(\frac12\); г) \(\frac12\).

8.6–8.7. Корни в виде степеней

Используем правило \(\sqrt[n]{u^m}=u^{m/n}\). При делении на корень отрицательный показатель меняет знак:

8.6

• а) \(\sqrt[5]{b^4}=b^{4/5}\);
• б) \(\sqrt[3]{a^2}=a^{2/3}\);
• в) \(\sqrt[11]{c^2}=c^{2/11}\);
• г) \(\sqrt[5]{a}=a^{1/5}\).

8.7

• а) \(\sqrt{b^{-1}}=b^{-1/2}\);
• б) \(\displaystyle\frac1{\sqrt[4]{x^{-3}}}=\frac1{x^{-3/4}}=x^{3/4}\);
• в) \(\sqrt[12]{b^{-5}}=b^{-5/12}\);
• г) \(\displaystyle\frac1{\sqrt[3]{a^{-2}}}=\frac1{a^{-2/3}}=a^{2/3}\).

Для действительных значений в 8.7 нужно: в пунктах а) и в) \(b>0\), в б) \(x>0\), в г) \(a\ne0\).

8.8. Вычисления

Показатель \(\frac12\) означает квадратный корень, а \(\frac13\) — кубический:

• а) \(49^{1/2}=\sqrt{49}=7\);
• б) \(1000^{1/3}=\sqrt[3]{1000}=10\);
• в) \(27^{1/3}=\sqrt[3]{27}=3\);
• г) \(25^{1/2}=\sqrt{25}=5\).

8.9. Вычисления

Смешанные числа в показателях сначала переводим в неправильные дроби:

• а) \(9^{2\frac12}=9^{5/2}=9^2\sqrt9=81\cdot3=243\);
• б) \(0{,}16^{1\frac12}=0{,}16^{3/2}=0{,}16\sqrt{0{,}16}=0{,}16\cdot0{,}4=0{,}064\);
• в) \(\left(3\frac38\right)^{4/3}=\left(\frac{27}{8}\right)^{4/3}=\left(\frac32\right)^4=\frac{81}{16}\);
• г) \(0{,}001^{2/3}=(\sqrt[3]{0{,}001})^2=0{,}1^2=0{,}01\).

8.10. Свойства степеней

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при делении — вычитаются.

• а) \((27\cdot3^{-4})^2=(3^3\cdot3^{-4})^2=(3^{-1})^2=3^{-2}=\frac19\);
• б) \(\displaystyle\frac{6^{-4}\cdot6^{-9}}{6^{-12}}=6^{-4-9+12}=6^{-1}=\frac16\);
• в) \(16\cdot(2^{-3})^2=2^4\cdot2^{-6}=2^{-2}=\frac14\);
• г) \(\displaystyle\frac{7^{-7}\cdot7^{-8}}{7^{-13}}=7^{-7-8+13}=7^{-2}=\frac1{49}\).

8.11. Приводим к одинаковым основаниям

• а) \(\displaystyle\frac{5^4\cdot49^{-3}}{7^{-7}\cdot25^3} =\frac{5^4\cdot7^{-6}}{7^{-7}\cdot5^6} =5^{-2}\cdot7=\frac7{25}\);
• б) \(\displaystyle\frac{81^{12}\cdot10^{-7}}{10^{-6}\cdot27^{17}} =\frac{3^{48}\cdot10^{-7}}{10^{-6}\cdot3^{51}} =3^{-3}\cdot10^{-1}=\frac1{270}\).

8.12. Отрицательный показатель

Используем \(a^{-r}=\frac1{a^r}\):

• а) \(4^{-1/2}=\frac1{\sqrt4}=\frac12\);
• б) \(8^{-1/3}=\frac1{\sqrt[3]8}=\frac12\);
• в) \(32^{-1/5}=\frac1{\sqrt[5]{32}}=\frac12\);
• г) \(16^{-1/4}=\frac1{\sqrt[4]{16}}=\frac12\).