Реши задание на изображении
Краткие ответы:
- \(A_1B_1=35\) см.
- \(P_{NKLM}=13{,}2\) см.
- \(\cos\angle NKM=-\dfrac35\).
- Сечение — треугольник \(BDE\), где \(E\) — середина \(AA_1\); его площадь \(80\text{ см}^2\).
Задача 1
Параллельные плоскости отсекают на пересекающихся в \(P\) прямых пропорциональные отрезки:
\[ \frac{A_1B_1}{AB}=\frac{PA_1}{PA}. \]
Значит,
\[ A_1B_1=10\cdot\frac{21}{6}=35\text{ см}. \]
Задача 2
В треугольнике \(PAC\) точки \(K\) и \(N\) — середины сторон, поэтому \(NK=\frac{PC}{2}=3{,}7\) см. Аналогично, в треугольнике \(PBC\): \(LM=\frac{PC}{2}=3{,}7\) см.
В треугольниках \(PAB\) и \(ABC\) отрезки \(KL\) и \(NM\) — средние линии:
\[ KL=NM=\frac{AB}{2}=2{,}9\text{ см}. \]
Тогда
\[ P_{NKLM}=3{,}7+2{,}9+3{,}7+2{,}9=13{,}2\text{ см}. \]
Задача 3
Так как плоскость \(NMK\) параллельна основанию \(ABC\), треугольники \(NMK\) и \(ABC\) подобны. Вершине \(K\) соответствует \(C\), поэтому
\[ \angle NKM=\angle ACB. \]
По теореме косинусов:
\[ \cos\angle ACB =\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2\cdot AC\cdot BC} =\frac{7^2+15^2-20^2}{2\cdot7\cdot15} =-\frac35. \]
Задача 4
Обозначим \(E\) точку пересечения секущей плоскости с ребром \(AA_1\). Сечение — треугольник \(BDE\). Из условия, что плоскость параллельна диагонали \(A_1C\), следует, что \(E\) — середина \(AA_1\). Поэтому \(AE=6\) см.
Сторона основания \(a=8\sqrt2\) см, значит диагональ квадрата
\[ BD=a\sqrt2=16\text{ см}. \]
Проекция точки \(E\) на основание — точка \(A\). Расстояние от \(A\) до диагонали \(BD\) равно \(a/\sqrt2=8\) см. Высота треугольника \(BDE\), опущенная на \(BD\):
\[ h_{E}=\sqrt{8^2+6^2}=10\text{ см}. \]
Тогда площадь сечения:
\[ S_{BDE}=\frac12\cdot16\cdot10=80\text{ см}^2. \]
Обсуждение
4 сообщенияраспиши доказательство 1 задачи подробнее
Пусть две параллельные плоскости пересекают две прямые, пересекающиеся в точке \(P\):
- на первой прямой получены точки \(A\) и \(A_1\);
- на второй прямой — точки \(B\) и \(B_1\);
- \(AB=10\) см;
- \(PA=6\) см;
- \(PA_1=21\) см.
Найти \(A_1B_1\).
Доказательство
Рассмотрим плоскость, проходящую через две пересекающиеся прямые \(PA\) и \(PB\).
Первая параллельная плоскость пересекает её по прямой \(AB\), а вторая — по прямой \(A_1B_1\).
Так как исходные плоскости параллельны, то и линии их пересечения с третьей плоскостью параллельны:
\[ AB\parallel A_1B_1. \]
Рассмотрим треугольники \(PAB\) и \(PA_1B_1\).
Они подобны по двум углам:
- угол при вершине \(P\) общий:
\[ \angle APB=\angle A_1PB_1; \]
- так как \(AB\parallel A_1B_1\), то соответствующие углы равны:
\[ \angle PAB=\angle PA_1B_1. \]
Следовательно,
\[ \triangle PAB\sim\triangle PA_1B_1. \]
Из подобия треугольников следует пропорция соответствующих сторон:
\[ \frac{A_1B_1}{AB}=\frac{PA_1}{PA}. \]
Подставим известные значения:
\[ \frac{A_1B_1}{10}=\frac{21}{6}. \]
Отсюда
\[ A_1B_1=10\cdot\frac{21}{6} =35\text{ см}. \]
Ответ:
\[ \boxed{A_1B_1=35\text{ см}}. \]
построение сечения в 4 задаче по пунктам
Обозначим секущую плоскость через \(\alpha\).
Построение сечения по пунктам
В основании \(ABCD\) проведём диагонали \(AC\) и \(BD\).
Обозначим их точку пересечения через \(O\):
\[ O=AC\cap BD. \]
Точка \(O\) — середина диагонали \(AC\) и принадлежит секущей плоскости \(\alpha\), поскольку \(O\in BD\).
- Через точку \(O\) проведём прямую, параллельную диагонали \(A_1C\):
\[ OE\parallel A_1C. \]
Эта прямая пересечёт ребро \(AA_1\) в точке \(E\).
- Почему \(E\) — середина \(AA_1\)? Рассмотрим треугольник \(AA_1C\). В нём:
- \(O\) — середина \(AC\);
- \(OE\parallel A_1C\).
По теореме о средней линии треугольника точка \(E\) является серединой \(AA_1\):
\[ AE=EA_1. \]
Так как плоскость \(\alpha\) проходит через \(BD\) и параллельна \(A_1C\), построенная прямая \(OE\) лежит в этой плоскости. Значит, точка \(E\) принадлежит плоскости сечения.
Соединим точку \(E\) с вершинами \(B\) и \(D\).
Искомое сечение — треугольник
\[ \boxed{BDE}. \]
Граница сечения состоит из отрезков \(BD\), \(BE\) и \(DE\). Отрезок \(OE\) — вспомогательный, он нужен только для построения точки \(E\).
