Номер 113 под буквой а
Краткий ответ: \(y=x^3+1\) — график \(y=x^3\), сдвинутый вверх на \(1\) единицу.
Свойства функции
Область определения: \[ D(f)=\mathbb{R}. \]
Область значений: \[ E(f)=\mathbb{R}. \]
Нуль функции: \[ x^3+1=0 \Rightarrow x^3=-1 \Rightarrow x=-1. \] График пересекает ось \(Ox\) в точке \((-1;0)\).
Знак функции: \[ f(x)<0 \text{ при } x<-1, \] \[ f(x)>0 \text{ при } x>-1. \]
Монотонность: функция возрастает на всей числовой прямой: \[ \text{возрастает на }(-\infty;+\infty). \]
Наибольшего и наименьшего значения нет, так как функция не ограничена сверху и снизу.
Пересечение с осью \(Oy\): \[ f(0)=1, \] поэтому точка пересечения — \((0;1)\).
Почему: прибавление \(1\) к \(x^3\) сдвигает весь график вверх на одну единицу, поэтому область определения и возрастание сохраняются.
Обсуждение
2 сообщенияС рисунком
Вот схематичный рисунок графика функции
\[
y=x^3+1.
\]
График \(y=x^3\) сдвинут вверх на 1 единицу:
y
↑
9 | ● (2; 9)
| /
8 | /
7 | /
6 | /
5 | /
4 | /
3 | /
2 | ● (1; 2)
1 | ● (0; 1)
0 ─────●────────┼────────────────────→ x
(-1; 0) |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 |
-6 |
-7 ● (-2; -7)
Для построения можно взять точки:
\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y=x^3+1&-7&0&1&2&9 \end{array} \]
Через эти точки проводят плавную возрастающую кубическую кривую.
