Тест по предмету «Геометрия» на тему «Теорема синусов и косинусов»

1. В треугольнике \(ABC\) стороны \(a,b,c\) лежат напротив углов \(A,B,C\), а \(R\) — радиус описанной окружности. Выберите все верные формулы.

   • A. \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\)
   • B. \(\dfrac{a}{\sin B}=\dfrac{b}{\sin A}\)
   • C. \(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
   • D. \(\dfrac{a}{\sin A}=R\)

2. В треугольнике \(ABC\) \(A=30^\circ\), \(B=45^\circ\), \(a=6\). Выберите все верные утверждения о стороне \(b\).

   • A. \(b=6\sqrt2\)
   • B. \(\dfrac{b}{\sin45^\circ}=12\)
   • C. \(b=3\sqrt2\)
   • D. \(\dfrac{b}{\sin45^\circ}=6\)

3. В треугольнике \(ABC\) \(b=5\), \(c=7\), \(A=60^\circ\). Выберите все верные утверждения.

   • A. \(a^2=39\)
   • B. \(a=\sqrt{39}\)
   • C. \(a^2=74\)
   • D. \(a=39\)

4. В треугольнике \(ABC\) \(a=7\), \(b=8\), \(c=9\). Выберите все верные утверждения.

   • A. \(\cos C=\dfrac{2}{7}\)
   • B. Угол \(C\) острый.
   • C. \(\cos C=\dfrac{7}{2}\)
   • D. Угол \(C\) тупой.

5. В треугольнике \(ABC\) \(a=10\), \(A=30^\circ\), \(R\) — радиус описанной окружности. Выберите все верные утверждения.

   • A. \(R=10\)
   • B. \(2R=20\)
   • C. \(R=20\)
   • D. \(\dfrac{a}{\sin A}=10\)

6. В треугольнике \(ABC\) \(b=8\), \(B=60^\circ\), \(C=45^\circ\). Выберите все верные значения стороны \(c\).

   • A. \(c=\dfrac{8\sqrt6}{3}\)
   • B. \(c^2=\dfrac{128}{3}\)
   • C. \(c=\dfrac{4\sqrt6}{3}\)
   • D. \(c^2=\dfrac{64}{3}\)

7. В треугольнике \(ABC\) сторона \(a\) лежит напротив угла \(A\). Выберите все верные утверждения.

   • A. Если \(A=90^\circ\), то \(a^2=b^2+c^2\).
   • B. Если \(a^2=b^2+c^2\), то \(A=90^\circ\).
   • C. Если \(A=90^\circ\), то \(b^2=a^2+c^2\).
   • D. Равенство \(a^2=b^2+c^2\) выполняется в любом треугольнике.

8. В треугольнике \(ABC\) стороны \(a=6\) и \(b=8\) образуют угол \(C=90^\circ\). Выберите все верные утверждения.

   • A. \(c=10\)
   • B. \(\cos C=0\)
   • C. \(c^2=100\)
   • D. \(c=\sqrt{28}\)

9. В треугольнике \(ABC\) \(a=5\), \(b=7\), \(C=60^\circ\). Выберите все верные утверждения.

   • A. \(c^2=39\)
   • B. \(c=\sqrt{39}\)
   • C. \(c^2=74\)
   • D. \(c=39\)

10. В треугольнике \(ABC\) \(A=30^\circ\), \(B=60^\circ\). Выберите все верные утверждения.

• A. \(C=90^\circ\)
• B. \(b=\sqrt3\,a\)
• C. \(c=2a\)
• D. \(a=2c\)

11. В треугольнике \(ABC\) \(A=30^\circ\), \(B=90^\circ\), \(a=8\). Выберите все верные утверждения.

• A. \(C=60^\circ\)
• B. \(b=16\)
• C. \(c=8\sqrt3\)
• D. \(c=16\sqrt3\)

12. В треугольнике \(ABC\) \(a=4\), \(b=5\), \(c=6\). Выберите все верные утверждения.

• A. \(\cos A=\dfrac34\)
• B. \(\sin A=\dfrac{\sqrt7}{4}\)
• C. Угол \(A\) острый.
• D. \(\cos A=\dfrac43\)

13. В треугольнике \(ABC\) стороны \(a,b,c\) лежат напротив углов \(A,B,C\). Выберите все верные утверждения.

• A. Наибольшему углу противоположна наибольшая сторона.
• B. Если \(a>b\), то \(A>B\).
• C. Равным сторонам противоположны разные углы.
• D. Наибольшая сторона противоположна наименьшему углу.

14. В треугольнике \(ABC\) \(a=7\), \(b=8\), \(c=13\). Выберите все верные утверждения.

• A. \(\cos C=-\dfrac12\)
• B. \(C=120^\circ\)
• C. Угол \(C\) острый.
• D. \(\cos C=\dfrac12\)

15. В треугольнике \(ABC\) предполагаются \(A=30^\circ\), \(a=4\), \(b=10\). Выберите все верные выводы о возможности существования такого треугольника.

• A. По теореме синусов получилось бы \(\sin B=\dfrac54\).
• B. Так как синус угла не может быть больше 1, такого треугольника не существует.
• C. Такой треугольник существует, поскольку \(4<10\).
• D. По теореме синусов получилось бы \(\sin B=\dfrac45\).

Ответы

1. A, C
2. A, B
3. A, B
4. A, B
5. A, B
6. A, B
7. A, B
8. A, B, C
9. A, B
10. A, B, C
11. A, B, C
12. A, B, C
13. A, B
14. A, B
15. A, B