Реши задание на изображении
Ответ: \(\alpha=75^\circ\).
Пусть сторона квадрата равна \(a\). Точки \(E\) и \(H\) — середины верхней и нижней сторон, поэтому горизонтальное расстояние от \(E\) до правой стороны квадрата равно \(a/2\).
Треугольник \(EFG\) равносторонний, значит \(EG\) образует с горизонталью угол \(60^\circ\). На отрезке от \(E\) до \(K\) горизонтальное смещение равно \(a/2\), поэтому вертикальное смещение:
\[ \frac a2\tan 60^\circ=\frac{\sqrt3a}{2}. \]
Тогда высота \(K\) над основанием квадрата равна \(a-\frac{\sqrt3a}{2}\). В прямоугольном треугольнике \(KHB\):
\[ \tan\angle KHB =\frac{a-\frac{\sqrt3a}{2}}{a/2} =2-\sqrt3 =\tan15^\circ. \]
Значит, \(HK\) наклонён к горизонтали на \(15^\circ\), а \(EK\) — на \(60^\circ\). Угол между лучами \(KE\) и \(KH\):
\[ \alpha=60^\circ+15^\circ=75^\circ. \]
Обсуждение
6 сообщенийПокажи, как решить эту задачу без тангенсов.
Конечно. Обойдёмся без тангенсов — используем теорему о биссектрисе и подобие треугольников.
Пусть сторона квадрата равна \(a\). Так как \(E\) — середина верхней стороны, горизонтальное расстояние от \(E\) до правой стороны квадрата равно \(a/2\). Из равностороннего треугольника следует, что \(EG\) образует с горизонталью угол \(60^\circ\). Поэтому вертикальный перепад от \(E\) до \(K\) равен \(\frac{\sqrt3a}{2}\) — это соотношение сторон в треугольнике \(30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ\).
Тогда в прямоугольном треугольнике \(HKB\):
\[ HB=\frac a2,\qquad BK=a-\frac{\sqrt3a}{2}. \]
Значит,
\[ \frac{BK}{HB}=2-\sqrt3. \]
Почему это означает, что \(\angle KHB=15^\circ\)? Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами \(1,\sqrt3,2\) и углами \(30^\circ,60^\circ,90^\circ\). Проведём биссектрису угла \(30^\circ\). По теореме о биссектрисе отрезки на стороне длины \(1\) относятся как \(\sqrt3:2\). В меньшем прямоугольном треугольнике угол при вершине биссектрисы равен \(15^\circ\), а отношение противолежащего катета к прилежащему равно
\[ \frac{1}{2+\sqrt3}=2-\sqrt3. \]
Это такое же отношение катетов, как в \(HKB\), поэтому треугольники подобны и \(\angle KHB=15^\circ\).
Наконец, \(KE\) образует с горизонталью угол \(60^\circ\), а \(KH\) — \(15^\circ\) с горизонталью в другую сторону. Поэтому
\[ \boxed{\alpha=60^\circ+15^\circ=75^\circ}. \]
Давай ещё более лёгкий вариант решение
Да. Самый короткий способ — узнать в прямоугольном треугольнике \(HKB\) угол \(15^\circ\) по отношению его катетов.
Пусть сторона квадрата равна \(a\). Из треугольника \(30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ\):
\[ HB=\frac a2,\qquad BK=a-\frac{\sqrt3a}{2}. \]
Значит,
\[ \frac{BK}{HB}=2-\sqrt3. \]
Это стандартное отношение катетов в прямоугольном треугольнике с углом \(15^\circ\). Поэтому \(\angle KHB=15^\circ\). А \(KE\) образует с горизонталью угол \(60^\circ\), значит
\[ \boxed{\alpha=60^\circ+15^\circ=75^\circ}. \]
Давайте сначала найдёшь углы и отрезки
Да, начнём с известных углов и отрезков. Обозначим сторону квадрата через \(a\), а верхнюю правую вершину квадрата — \(M\).
\(E\) и \(H\) — середины сторон, поэтому \[ EM=HB=\frac a2. \]
Так как \(EK\) лежит на стороне равностороннего треугольника, он образует с горизонтальной стороной квадрата угол \(60^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(EMK\): \[ \angle E=60^\circ,\qquad \angle M=90^\circ,\qquad \angle K=30^\circ. \]
Стороны треугольника \(EMK\) относятся как \(1:\sqrt3:2\). Поскольку \(EM=\frac a2\) — сторона напротив угла \(30^\circ\), получаем: \[ EK=a,\qquad MK=\frac{\sqrt3a}{2}. \]
Правая сторона квадрата равна \(a\), значит \[ BK=a-MK=a-\frac{\sqrt3a}{2}. \]
Итак, в прямоугольном треугольнике \(HKB\) уже известны катеты: \[ HB=\frac a2,\qquad BK=a-\frac{\sqrt3a}{2}, \] а угол при \(B\) равен \(90^\circ\).
