Найди углы сначала и отрезки
Ответ: \(\alpha=75^\circ\).
Пусть сторона квадрата равна \(a\). Тогда \(EH=a\), а поскольку \(E\) — середина верхней стороны квадрата, \(HB=\frac a2\).
- В равностороннем треугольнике высота \(EH\) делит угол при \(E\) пополам. Поэтому сторона \(EG\) образует с горизонталью угол \(60^\circ\).
- От \(E\) до вертикальной стороны \(DB\) по горизонтали \(\frac a2\). Значит, вертикальный спуск от \(E\) до \(K\) равен \[ \frac a2\tan60^\circ=\frac{\sqrt3a}{2}. \] Поэтому \[ BK=EH-\frac{\sqrt3a}{2}=\frac{(2-\sqrt3)a}{2}. \]
- В прямоугольном треугольнике \(HBK\): \[ \tan\angle BHK=\frac{BK}{HB}=2-\sqrt3=\tan15^\circ. \] Значит, \(\angle HKB=75^\circ\).
- Угол между \(KE\) и вертикалью \(KD\) равен \(30^\circ\), поэтому \(\angle EKB=150^\circ\). Тогда \[ \alpha=\angle EKB-\angle HKB=150^\circ-75^\circ=\boxed{75^\circ}. \]
Обсуждение
2 сообщенияДавай без тангенсов.
Можно — используем соотношения в треугольниках \(30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ\) и теорему о биссектрисе.
Обозначим \(HB=x\). Тогда сторона квадрата \(EH=2x\). По треугольнику \(30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ\), вертикальный спуск от \(E\) до \(K\) равен \(x\sqrt3\). Значит, \[ BK=2x-x\sqrt3=x(2-\sqrt3). \]
Теперь проведём из \(H\) луч под углом \(30^\circ\) к \(HB\); пусть он пересекает вертикаль через \(B\) в точке \(P\). В прямоугольном треугольнике \(HBP\): \[ BP=\frac{x}{\sqrt3},\qquad HP=\frac{2x}{\sqrt3}. \] Биссектриса угла \(BHP\) делит \(BP\) в отношении \[ BK:KP=HB:HP=\sqrt3:2. \] Поэтому расстояние от \(B\) до точки пересечения биссектрисы с \(BP\) равно \[ \frac{x}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3+2} =x(2-\sqrt3)=BK. \] Значит, эта точка — \(K\), а \(\angle BHK=15^\circ\). В прямоугольном треугольнике \(HBK\) получаем \(\angle HKB=75^\circ\).
Так как \(\angle EKB=150^\circ\), то \[ \boxed{\alpha=150^\circ-75^\circ=75^\circ}. \]
