Реши уравнение cos2x=0
Ответ: \(\displaystyle x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.\)
Нули косинуса имеют вид \[ \cos t=0 \quad\Longleftrightarrow\quad t=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z. \] В нашем уравнении \(t=2x\), значит: \[ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi k. \] Делим обе части на \(2\): \[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z. \]
Проверка: \(2x=\frac{\pi}{2}+\pi k\), а косинус такого угла равен нулю.
Обсуждение
4 сообщениянапиши подробнее
Решим уравнение \[ \cos 2x=0. \]
Здесь \(2x\) — аргумент косинуса. Косинус равен нулю при углах \[ \frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z, \] поскольку это все нечётные кратные \(\frac{\pi}{2}\).
Значит, приравниваем аргумент \(2x\) к этим углам: \[ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]
Теперь делим обе части на \(2\): \[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\qquad k\in\mathbb Z. \]
Ответ: \[ \boxed{x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.} \]
Например, при \(k=0\) получаем \(x=\frac{\pi}{4}\), а при \(k=1\) — \(x=\frac{3\pi}{4}\). В градусах общий ответ записывается так: \(x=45^\circ+90^\circ k\).
посему в ответ только 1 х
В общем ответе не один \(x\): \(k\) — любое целое число, поэтому получаются бесконечно многие решения: \[ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\qquad k\in\mathbb Z. \]
Например, при \(k=0,1,2,3\): \[ x=\frac{\pi}{4},\ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{7\pi}{4}. \]
Если в задании нужно найти решения только на определённом промежутке, напиши его — тогда перечислим подходящие значения \(x\).
