Найти равносильные
Краткий ответ: равносильны только системы № 2 и № 4.
Системы № 1, 3, 5, 6, 7, 8 неравносильны.
Обозначения: \(XY=X\cap Y\), а \(\overline X\) — дополнение множества \(X\).
№ 2
Из \[ X=Y\cup Z,\qquad XW=YZW \] получаем: \[ (Y\cup Z)W=YZW, \] то есть \[ YW\cup ZW=YZW. \]
Так как \[ Y\subseteq\overline{ZW}, \] то \(YZW=\varnothing\). Поэтому \[ YW=\varnothing,\qquad ZW=\varnothing. \]
Следовательно, \[ Z\subseteq\overline W. \] Вместе с условием \(\overline W\subseteq Z\) получаем: \[ Z=\overline W. \]
Кроме того, \(YW=\varnothing\), значит \(Y\subseteq\overline W=Z\). Тогда \[ X=Y\cup Z=Z. \] Итак, \[ Y\subseteq X,\qquad X=Z=\overline W. \]
Обратно, из \[ Y\subseteq X,\qquad X=Z=\overline W \] следуют все условия левой системы. Значит, № 2 — равносильные системы.
№ 4
Из условия \[ C\subseteq\overline D \] следует: \[ CD=\varnothing. \]
Тогда \[ BCD=\varnothing. \] Из равенства \(AD=BCD\) получаем: \[ AD=\varnothing,\qquad A\subseteq\overline D. \]
Так как \[ A=B\cup C, \] то \[ B\subseteq A,\qquad C\subseteq A,\qquad A\subseteq B\cup C. \]
Получаем правую систему: \[ C\subseteq A\subseteq\overline D,\qquad B\subseteq A\subseteq B\cup C. \]
Обратное преобразование выполняется так же, поэтому № 4 — равносильные системы.
Почему остальные неравносильны
Пусть \(\Omega\) — универсальное множество.
| № | Контрпример | Что происходит |
|---|---|---|
| 1 | \(A=\varnothing,\ B=C=D=\Omega\) | Левая система верна, но \(A\ne B\) |
| 3 | \(A=B=\Omega,\ C=D=\varnothing\) | Левая система верна, но \(\overline A\ne B\) |
| 5 | \(Z=\varnothing,\ W=\Omega,\ X=Y=\varnothing\) | Левая система верна, но \(Y\ne\overline{ZW}\) |
| 6 | \(A=C=D=\Omega,\ B=\varnothing\) | Левая система верна, но \(\overline A\ne\overline B\) |
| 7 | \(A=B=C=D=\Omega\) | Левая система верна, но \(A\not\subseteq\overline B\) |
| 8 | \(X=Y=Z=W=\varnothing\) | Правая система верна, но \(Y\ne\overline{ZW}\) |
Итог: \[ \boxed{2,\ 4} \] — номера равносильных систем.
Обсуждение
1 сообщениеРазобрать подробно контрпример для №1?фрбШ
