Реши первый пример

Это продолжение текущего задания. Решаем пункт 1.

Дано: \[ \begin{cases} A\cup B\subseteq C,\\ C\cup B\subseteq A\cup D,\\ C\cup A\subseteq D\cup B,\\ A\cap C\subseteq B. \end{cases} \]

Из первого условия: \[ A\subseteq C,\qquad B\subseteq C. \]

Так как \(A\subseteq C\), то \(A\cap C=A\). Поэтому из \(A\cap C\subseteq B\) получаем: \[ A\subseteq B. \]

Значит, \[ A\subseteq B\subseteq C. \]

Кроме того, второе условие даёт: \[ C\subseteq A\cup D. \]

Первую систему можно свести к: \[ A\subseteq B\subseteq C,\qquad C\subseteq A\cup D. \]

Это не то же самое, что \[ A=B,\qquad B\subseteq C\subseteq B\cup D. \]

Контрпример: \(A=\varnothing,\ B=C=D=\{1\}\). Левая система выполняется, но \(A\ne B\).

\[ \boxed{\text{Системы не равносильны.}} \]

Пришли фото или текст примера № 2 — решу его.

Это продолжение текущего задания: на изображении приведён пример № 2.

Обозначим пересечение через juxtaposition: \(ZW=Z\cap W\).

Из условий \[ Y\subseteq \overline{ZW},\qquad X=Y\cup Z,\qquad XW=YZW \] получаем: \[ XW=(Y\cup Z)W=YW\cup ZW=YZW=\varnothing. \] Следовательно, \[ YW=\varnothing,\qquad ZW=\varnothing. \]

Так как \[ \overline W\subseteq Z, \] а \(ZW=\varnothing\), то \[ Z=\overline W. \]

Кроме того, \(YW=\varnothing\), значит \(Y\subseteq\overline W=Z\). Поэтому \[ X=Y\cup Z=Z=\overline W, \] и, очевидно, \[ Y\subseteq X. \]

Обратно, из условий \[ Y\subseteq X,\qquad X=Z=\overline W \] следуют все условия левой системы.

\[ \boxed{\text{Системы равносильны.}} \]

№ 3

Обозначим \(AC=A\cap C\).

Из левой системы: \[ \overline A\cup\overline B=D,\qquad A\cap C=D. \]

Так как \[ \overline A\subseteq D=A\cap C\subseteq A, \] то \(\overline A=\varnothing\), следовательно, \(A=U\).

Тогда: \[ D=A\cap C=C,\qquad D=\overline B. \]

Левая система равносильна: \[ A=U,\qquad C=D=\overline B. \]

Правая система равносильна: \[ B=\overline A,\qquad C=A,\qquad A\subseteq D. \]

Эти условия различны. Например, при \[ A=B=U,\qquad C=D=\varnothing \] левая система выполняется, а правая — нет, поскольку \(\overline A=\varnothing\ne B\).

\[ \boxed{\text{Системы не равносильны.}} \]

Обозначим \(AC=A\cap C\), а \(\overline A\) — дополнение множества \(A\).

Левая система: \[ \begin{cases} \overline A\cup\overline B=D,\\ A\cap C=D,\\ C\subseteq A\cup B. \end{cases} \]

Так как \(D=A\cap C\), то \(D\subseteq A\). Но из первого равенства \(\overline A\subseteq D\), значит \(\overline A\subseteq A\), откуда \[ \overline A=\varnothing,\qquad A=U. \] Тогда \[ C=D=\overline B. \]

Правая система требует: \[ \overline A=B,\qquad A=C,\qquad \overline D\subseteq B. \]

Системы не равносильны. Например, при \[ A=B=U,\qquad C=D=\varnothing \] левая система выполняется, а правая — нет, поскольку \(\overline A=\varnothing\ne B\).

\[ \boxed{\text{Системы не равносильны.}} \]

Нет, системы в № 10 неравносильны.

Контрпример: пусть \[ W=\varnothing,\quad X=U,\quad Y=Z=\varnothing. \]

Правая система выполняется: \[ X=\overline W=U,\qquad Y=Z. \]

Но левая система не выполняется, так как \[ X\nsubseteq W \quad (U\nsubseteq\varnothing). \]

\[ \boxed{\text{Системы неравносильны.}} \]