Реши геометрю 8 класса 1 четверть 2026г

Пусть \(AD=a,\ AB=b\), \(A(0,0), B(0,b), C(a,b), D(a,0)\).

Уравнения биссектрис: \[ AM:y=x,\quad BK:y=b-x,\quad CK:y=x+b-a,\quad DM:y=a-x. \]

Отсюда: \[ M\left(\frac a2,\frac a2\right),\quad N\left(\frac b2,\frac b2\right), \] \[ P\left(a-\frac b2,\frac b2\right),\quad K\left(\frac a2,b-\frac a2\right). \]

Пусть \(d=\frac{a-b}{2}\). Тогда \[ \vec{NM}=(d,d),\quad \vec{MP}=(d,-d), \] \[ \vec{PK}=(-d,-d),\quad \vec{KN}=(-d,d). \]

Все стороны равны \(\sqrt2|d|\), а \[ \vec{NM}\cdot\vec{MP}=d^2-d^2=0. \]

Следовательно, \(NMPK\) — квадрат.
(При \(a=b\) прямоугольник является квадратом, и фигура вырождается.)