На скрещивающихся прямых а и b отмечены соответственно точки М и N. Через прямую а и точку N проведена плоскость α, а через прямую b и точку М — плоскость β. а) Лежит ли прямая b в плоскости α? б) Пересекаются ли плоскости α и &

Краткий ответ (в пункте б) предполагаются плоскости \(\alpha\) и \(\beta\)):

а) Нет, прямая \(b\) не лежит в плоскости \(\alpha\).
б) Да, плоскости пересекаются по прямой \(MN\):

\[ \alpha\cap\beta=MN. \]

Объяснение

1. Прямые \(a\) и \(b\) — скрещивающиеся, поэтому они не лежат в одной плоскости.
2. Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(a\) и точку \(N\). Если бы \(b\subset\alpha\), то обе прямые \(a\) и \(b\) лежали бы в плоскости \(\alpha\), что невозможно. Значит,

\[ b\not\subset\alpha. \]

При этом \(N\in b\) и \(N\in\alpha\), поэтому \(b\) пересекает \(\alpha\) в точке \(N\). 3. Точка \(M\) принадлежит \(a\), значит, \(M\in\alpha\). По условию \(M\in\beta\). 4. Точка \(N\) принадлежит \(b\), значит, \(N\in\beta\). По построению \(N\in\alpha\).

Следовательно, обе плоскости содержат две разные точки \(M\) и \(N\), а значит, общая линия плоскостей — прямая \(MN\). Плоскости не совпадают, иначе скрещивающиеся прямые \(a\) и \(b\) оказались бы в одной плоскости.