Реши задание на изображении

Краткий ответ:
\[ \boxed{x\in\{-1;\,1;\,2;\,4\}} \]

Решение

ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю:

\[ x^2-3x\ne0 \]

\[ x(x-3)\ne0 \quad\Rightarrow\quad x\ne0,\;x\ne3. \]

Заметим, что

\[ 3x^2-9x=3(x^2-3x). \]

Обозначим:

\[ t=x^2-3x,\qquad t\ne0. \]

Тогда уравнение принимает вид:

\[ \frac{3t}{2}-\frac{12}{t}=3. \]

Умножим на \(2t\):

\[ 3t^2-24=6t, \]

\[ 3t^2-6t-24=0. \]

Разделим на \(3\):

\[ t^2-2t-8=0, \]

\[ (t-4)(t+2)=0. \]

Отсюда:

\[ t=4\quad\text{или}\quad t=-2. \]

Возвращаемся к \(t=x^2-3x\).

1) Если \(x^2-3x=4\):

\[ x^2-3x-4=0, \]

\[ (x-4)(x+1)=0, \]

\[ x=4\quad\text{или}\quad x=-1. \]

2) Если \(x^2-3x=-2\):

\[ x^2-3x+2=0, \]

\[ (x-1)(x-2)=0, \]

\[ x=1\quad\text{или}\quad x=2. \]

Все найденные значения не равны \(0\) и \(3\), значит, подходят.

Проверка принципом: при \(t=4\) и \(t=-2\)

\[ \frac{3t}{2}-\frac{12}{t}=3, \]

поэтому все четыре корня верны.