логорифмы

Кратко: логарифм — это показатель степени:

\[ \log_a b=c \quad \Longleftrightarrow \quad a^c=b \]

где \(a>0\), \(a\ne1\), \(b>0\).

Примеры

\[ \log_2 8=3, \]

потому что

\[ 2^3=8. \]

\[ \log_5 25=2, \]

потому что

\[ 5^2=25. \]

Основные свойства

\[ \log_a 1=0 \]

так как \(a^0=1\);

\[ \log_a a=1 \]

так как \(a^1=a\);

\[ \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y; \]

\[ \log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y; \]

\[ \log_a(x^n)=n\log_a x. \]

Как решать логарифмическое уравнение

Например:

\[ \log_3(x-1)=2. \]

Переходим к показательной форме:

\[ x-1=3^2. \]

\[ x-1=9,\qquad x=10. \]

Проверка области допустимых значений:

\[ x-1>0. \]

При \(x=10\):

\[ 10-1=9>0, \]

значит, ответ верный.

Важно: нельзя считать, что

\[ \log_a(x+y)=\log_a x+\log_a y. \]

Это свойство для произведения, а не для суммы.