Ты — профессор математики и золотой медалист Международной математической олимпиады. Тебе нужно решить следующую задачу повышенной сложности для 9 класса. Твоя цель — безупречная…

Ответ:

а) Плотность неизвестной жидкости:

\[ \boxed{\rho_{\text{ж}}=750\ \text{кг/м}^3} \]

б) Плотность стекла:

\[ \boxed{\rho_{\text{ст}}=2500\ \text{кг/м}^3} \]

Решение

Обозначим через \(V\) объём, соответствующий одному делению шкалы. Тогда объём стеклянного дна, толщина которого равна двум делениям:

\[ V_{\text{дна}}=2V. \]

Стенки очень тонкие, поэтому их массой и объёмом пренебрегаем.

1. Первое положение

Жидкость налита до 12-го деления. Её объём равен \(12V\).

Уровни жидкости внутри и воды снаружи совпадают. Ниже нулевого деления находится дно толщиной два деления, поэтому мензурка вытесняет объём воды

\[ V_{\text{выт}1}=(12+2)V=14V. \]

По условию плавания сила Архимеда равна силе тяжести:

\[ \rho_{\text{в}}g\cdot14V = \rho_{\text{ст}}g\cdot2V+\rho_{\text{ж}}g\cdot12V. \]

Сокращая \(gV\), получаем:

\[ 14\rho_{\text{в}}=2\rho_{\text{ст}}+12\rho_{\text{ж}}. \tag{1} \]

2. Второе положение

Долили такой же объём жидкости, поэтому теперь её объём равен \(24V\), а уровень находится на 24-м делении.

Он на три деления выше уровня воды, следовательно, вода снаружи находится на делении

\[ 24-3=21. \]

С учётом двух делений толщины дна вытесненный объём воды:

\[ V_{\text{выт}2}=(21+2)V=23V. \]

Условие плавания:

\[ 23\rho_{\text{в}}=2\rho_{\text{ст}}+24\rho_{\text{ж}}. \tag{2} \]

Вычтем (1) из (2):

\[ 9\rho_{\text{в}}=12\rho_{\text{ж}}, \]

\[ \rho_{\text{ж}}=\frac{9}{12}\rho_{\text{в}} =0{,}75\cdot1000=750\ \text{кг/м}^3. \]

Теперь подставим в (1):

\[ 14\cdot1000=2\rho_{\text{ст}}+12\cdot750, \]

\[ 2\rho_{\text{ст}}=14000-9000=5000, \]

\[ \rho_{\text{ст}}=2500\ \text{кг/м}^3. \]

Проверка второго положения:

\[ 2\cdot2500+24\cdot750=5000+18000=23000 =23\cdot1000. \]

Равенство выполняется.