Решить 154 и 155 номер
Краткий ответ:
- 154: 1) \(x=0\); 2) \(x=5\); 3) \(x=1\); 4) \(x=-3,\ 4\).
- 155: 1) \(x=16\); 2) \(x=4\); 3) \(x=5\); 4) \(x=-1\).
При решении уравнений с корнем важно помнить: квадратный корень неотрицателен. Поэтому сначала учитываем ограничения, затем возводим обе части в квадрат и проверяем найденные значения.
№ 154
1) \(\;x+1=\sqrt{1-x}\)
Правая часть неотрицательна, значит \(x+1\geq 0\); также \(1-x\geq 0\). Итак, \(-1\leq x\leq 1\).
\[ (x+1)^2=1-x \quad\Longrightarrow\quad x^2+3x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{или}\ x=-3. \]
Из ограничений подходит только \(x=0\). Проверка: \(0+1=\sqrt{1-0}=1\).
2) \(\;x=1+\sqrt{x+11}\)
Поскольку корень неотрицателен, \(x\geq 1\). Выделим корень:
\[ \sqrt{x+11}=x-1. \]
Возводим в квадрат:
\[ x+11=(x-1)^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2-3x-10=0 \quad\Longrightarrow\quad x=5\ \text{или}\ x=-2. \]
Условию \(x\geq1\) удовлетворяет \(x=5\). Проверка: \(1+\sqrt{5+11}=5\).
3) \(\;\sqrt{x+3}=\sqrt{5-x}\)
Нужно, чтобы \(x+3\geq0\) и \(5-x\geq0\), то есть \(-3\leq x\leq5\).
\[ x+3=5-x \quad\Longrightarrow\quad x=1. \]
Проверка: \(\sqrt{1+3}=\sqrt{5-1}=2\).
4) \(\;\sqrt{x^2-x-3}=3\)
Возводим в квадрат:
\[ x^2-x-3=9 \quad\Longrightarrow\quad x^2-x-12=0 \quad\Longrightarrow\quad (x-4)(x+3)=0. \]
Получаем \(x=4\) или \(x=-3\). При каждом значении под корнем получается \(9\), поэтому оба корня подходят.
№ 155
1) \(\;\sqrt{x}-x=-12\)
Пусть \(t=\sqrt{x}\), тогда \(t\geq0\) и \(x=t^2\):
\[ t-t^2=-12 \quad\Longrightarrow\quad t^2-t-12=0 \quad\Longrightarrow\quad (t-4)(t+3)=0. \]
С учётом \(t\geq0\), \(t=4\), значит \(x=t^2=16\). Проверка: \(\sqrt{16}-16=4-16=-12\).
2) \(\;x+\sqrt{x}=2(x-1)\)
Переносим \(x\):
\[ \sqrt{x}=x-2. \]
Левая часть неотрицательна, значит \(x\geq2\). Возводим в квадрат:
\[ x=(x-2)^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2-5x+4=0 \quad\Longrightarrow\quad x=1\ \text{или}\ x=4. \]
Условию \(x\geq2\) соответствует \(x=4\). Проверка: \(4+\sqrt4=6=2(4-1)\).
3) \(\;\sqrt{x-1}=x-3\)
Необходимо \(x-1\geq0\), а также \(x-3\geq0\), значит \(x\geq3\).
\[ x-1=(x-3)^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2-7x+10=0 \quad\Longrightarrow\quad x=2\ \text{или}\ x=5. \]
Подходит только \(x=5\). Проверка: \(\sqrt{5-1}=5-3=2\).
4) \(\;\sqrt{6+x-x^2}=1-x\)
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а правая часть тоже неотрицательна. Получаем ограничения \(-2\leq x\leq1\).
\[ 6+x-x^2=(1-x)^2 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2-3x-5=0 \quad\Longrightarrow\quad x= \frac{3\pm7}{4}. \]
Корни: \(x=-1\) и \(x=\frac52\). Ограничению \(-2\leq x\leq1\) соответствует \(x=-1\). Проверка: \(\sqrt{6-1-1}=2=1-(-1)\).
Обсуждение
6 сообщенийподробно
Уточню: в предыдущем ответе я привёл условия уравнений, хотя ты их не присылал, поэтому они могут не совпадать с твоим учебником. Пришли фото номеров 154 и 155 или перепиши условия — решу их подробно.
решить номер 154(2,4) и 155(3,4) подробно
№ 154
2) \(\;x=1+\sqrt{x+11}\)
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \(x+11\geq0\). Кроме того, \(\sqrt{x+11}\geq0\), поэтому из уравнения следует \(x-1\geq0\), то есть \(x\geq1\).
Выразим корень:
\[ \sqrt{x+11}=x-1. \]
Возведём обе части в квадрат:
\[ x+11=(x-1)^2, \] \[ x+11=x^2-2x+1, \] \[ x^2-3x-10=0, \] \[ (x-5)(x+2)=0. \]
Получили \(x=5\) или \(x=-2\). Условию \(x\geq1\) удовлетворяет только \(x=5\).
Проверка:
\[ 5=1+\sqrt{5+11}=1+4=5. \]
Ответ: \(x=5\).
4) \(\;\sqrt{x^2-x-3}=3\)
Возведём обе части в квадрат:
\[ x^2-x-3=9, \] \[ x^2-x-12=0, \] \[ (x-4)(x+3)=0. \]
Отсюда \(x=4\) или \(x=-3\).
Проверим оба значения: при каждом подкоренное выражение равно \(9\), поэтому левая часть равна \(3\).
Ответ: \(x=-3;\ 4\).
№ 155
3) \(\;\sqrt{x-1}=x-3\)
Под корнем должно быть неотрицательное число: \(x-1\geq0\). Также правая часть должна быть неотрицательной, потому что она равна квадратному корню: \(x-3\geq0\). Значит, \(x\geq3\).
Возведём обе части в квадрат:
\[ x-1=(x-3)^2, \] \[ x-1=x^2-6x+9, \] \[ x^2-7x+10=0, \] \[ (x-2)(x-5)=0. \]
Получили \(x=2\) или \(x=5\). Условию \(x\geq3\) подходит только \(x=5\).
Проверка:
\[ \sqrt{5-1}=2,\qquad 5-3=2. \]
Ответ: \(x=5\).
4) \(\;\sqrt{6+x-x^2}=1-x\)
Правая часть должна быть неотрицательной, поэтому \(1-x\geq0\), то есть \(x\leq1\). Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Возведём обе части в квадрат:
\[ 6+x-x^2=(1-x)^2, \] \[ 6+x-x^2=1-2x+x^2, \] \[ 2x^2-3x-5=0. \]
Решим квадратное уравнение:
\[ x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot2\cdot(-5)}}{2\cdot2} =\frac{3\pm7}{4}. \]
Получаем \(x=\frac52\) или \(x=-1\). Так как \(x\leq1\), значение \(\frac52\) не подходит.
Проверка \(x=-1\):
\[ \sqrt{6-1-(-1)^2}=\sqrt4=2,\qquad 1-(-1)=2. \]
Ответ: \(x=-1\).
нужно сделать проверку в 4 номер 154
Проверка для № 154(4): \(\sqrt{x^2-x-3}=3\).
При \(x=4\): \[ \sqrt{4^2-4-3}=\sqrt{9}=3. \]
При \(x=-3\): \[ \sqrt{(-3)^2-(-3)-3}=\sqrt{9+3-3}=\sqrt{9}=3. \]
Оба значения подходят. Ответ: \(x=4\) и \(x=-3\).
