Ты — профессор математики и золотой медалист Международной математической олимпиады. Тебе нужно решить следующую задачу повышенной сложности для 11 класса. Твоя цель — безупречная…
Ты — профессор математики и золотой медалист Международной математической олимпиады. Тебе нужно решить следующую задачу повышенной сложности для 11 класса. Твоя цель — безупречная логика и точность».
Ответ: \(8\) м.
Пусть \(A=(0,0)\), ось \(y\) направлена вверх, а ось \(x\) — вправо. Сторона равностороннего треугольника равна \(24\) м, поэтому начальные координаты точек можно взять такими: \[ B=(12\sqrt3,12),\qquad C=(12\sqrt3,-12). \]
По направлениям на рисунке скорости \(B\) и \(C\) направлены к \(A\): \[ \vec v_B=(-3\sqrt3,-3),\qquad \vec v_C=(-2\sqrt3,2)\quad\text{м/с}. \] Рассмотрим движение \(B\) относительно \(C\): \[ \vec r(0)=B-C=(0,24),\qquad \vec v_{\text{отн}}=\vec v_B-\vec v_C=(-\sqrt3,-5). \] Через \(t\) секунд вектор между точками равен \[ \vec r(t)=(-\sqrt3\,t,\;24-5t), \] так что квадрат расстояния: \[ d^2(t)=3t^2+(24-5t)^2. \] Минимум достигается при \(t=\frac{30}{7}\) с: \[ d_{\min}^2=3\left(\frac{30}{7}\right)^2+ \left(\frac{18}{7}\right)^2=\frac{432}{7}, \qquad d_{\min}\approx7{,}86\text{ м}. \] Округляя до целых, получаем \(8\) м.
