Реши задание на изображении
Ответы:
\[
v_x(t_4)=30\ \text{м/с},\qquad x(t_0)=300\ \text{м},
\]
\[
\overline{v_x}_{\,t_0\to t_3}=-6\ \text{м/с},\qquad
S_{t_0\to t_3}=500\ \text{м}.
\]
Как получить ответы
По графику: \(t_0=0\), \(t_1=20\), \(t_2=30\), \(t_3=50\), \(t_4=60\) с.
Используем \(v_x(t_1)=-10\ \text{м/с}\). За \(0\)–\(20\) с изменение скорости равно площади под графиком ускорения: \[ \Delta v=2\cdot10-1\cdot10=10\ \text{м/с}. \] Значит, \(v_x(t_0)=-20\ \text{м/с}\).
На участке \(50\)–\(60\) с ускорение линейно уменьшается от \(2\) до \(0\ \text{м/с}^2\). Сначала \[ v_x(t_3)=-10-1\cdot10+2\cdot20=20\ \text{м/с}. \] Изменение скорости на последнем участке — площадь трапеции: \[ \Delta v=\frac{2+0}{2}\cdot10=10\ \text{м/с}, \] поэтому \(v_x(t_4)=20+10=30\ \text{м/с}\).
Найдём смещение от \(t_0\) до \(t_2\). За \(0\)–\(10\) с скорость меняется от \(-20\) до \(0\), смещение равно \(-100\) м. За \(10\)–\(30\) с — от \(0\) до \(-20\), смещение равно \(-200\) м. Итого \(-300\) м. Так как \(x(t_2)=0\), получаем \(x(t_0)=300\) м.
На участке \(30\)–\(50\) с скорость меняется от \(-20\) до \(20\ \text{м/с}\), а смещение равно нулю. Поэтому общее смещение за \(0\)–\(50\) с — \(-300\) м: \[ \overline{v_x}=\frac{-300}{50}=-6\ \text{м/с}. \] Путь: \(100+200+100+100=500\) м. На участке \(30\)–\(50\) с точка меняет направление движения, поэтому его путь равен \(200\) м, хотя смещение равно нулю.
Обсуждение
3 сообщения«Посмотри на свое предыдущее решение. Представь, что ты строгий олимпиадный эксперт, который ищет логические и арифметические ошибки. Найди слабые места в своих рассуждениях и исправь их».
Проверил решение: арифметических ошибок не нашёл, но в прошлой записи некоторые переходы были объяснены недостаточно явно. Ниже — проверка по шагам, исходя из прочитанных с графика данных: \(v_x(20)=-10\ \text{м/с}\), \(x(30)=0\); ускорение равно \(2\ \text{м/с}^2\) на участках \(0\)–\(10\) и \(30\)–\(50\) с, \(-1\ \text{м/с}^2\) на \(10\)–\(30\) с, а на \(50\)–\(60\) с линейно уменьшается от \(2\) до \(0\ \text{м/с}^2\).
За \(0\)–\(20\) с изменение скорости: \[ \Delta v=2\cdot10-1\cdot10=10\ \text{м/с}. \] Поэтому \(v_x(0)=-10-10=-20\ \text{м/с}\).
Получаем скорости в ключевые моменты: \[ v_x(10)=0,\quad v_x(20)=-10,\quad v_x(30)=-20,\quad v_x(50)=20\ \text{м/с}. \] На \(50\)–\(60\) с площадь под графиком ускорения равна \[ \Delta v=\frac{2+0}{2}\cdot10=10\ \text{м/с}, \] значит, \(v_x(60)=30\ \text{м/с}\).
Смещение за \(0\)–\(30\) с: \[ \Delta x_{0\to10}=-100\ \text{м},\qquad \Delta x_{10\to30}=-200\ \text{м}. \] Значит, \(x(30)-x(0)=-300\ \text{м}\). Так как \(x(30)=0\), то \(x(0)=300\ \text{м}\).
За \(30\)–\(50\) с скорость линейно меняется от \(-20\) до \(20\ \text{м/с}\): смещения на половинах участка равны \(-100\) м и \(+100\) м. Итого смещение за \(0\)–\(50\) с равно \(-300\) м, а путь — \(500\) м. Поэтому \[ \overline{v_x}=\frac{-300}{50}=-6\ \text{м/с}. \]
Итог: \(v_x(t_4)=30\ \text{м/с}\), \(x(t_0)=300\ \text{м}\), \(\overline{v_x}=-6\ \text{м/с}\), \(S=500\ \text{м}\). Слабое место прежнего ответа — не было явно показано, какие именно участки графика ускорения использовались; при указанном чтении графика результаты согласуются.
Ты — профессор математики и золотой медалист Международной математической олимпиады. Тебе нужно решить следующую задачу повышенной сложности для 11 класса. Твоя цель — безупречная логика и точность».
