Реши задание на изображении

Краткий ответ:
6.21 — получится квадрат.
6.22 — противоположные стороны четырёхугольника \(ABCD\) будут параллельны: \(ABCD\) — параллелограмм.

6.21

Пусть исходный квадрат — \(KLMN\), а его диагонали — \(KM\) и \(LN\). Через \(K\) и \(M\) проведи прямые, параллельные \(LN\), а через \(L\) и \(N\) — параллельные \(KM\). Отметь четыре точки пересечения этих прямых.

Диагонали квадрата перпендикулярны и равны. Поэтому полученный четырёхугольник имеет прямые углы, а расстояния между двумя парами параллельных прямых равны. Значит, все его углы прямые и стороны равны — это квадрат.

6.22

Пусть исходный четырёхугольник — \(PQRS\), а точки \(A,B,C,D\) — середины сторон \(PQ, QR, RS, SP\) соответственно. Соедини их по порядку.

По теореме о средней линии треугольника:

• в треугольниках \(PQR\) и \(PSR\): \(AB\parallel PR\) и \(CD\parallel PR\), значит, \(AB\parallel CD\);
• в треугольниках \(QRS\) и \(QPS\): \(BC\parallel QS\) и \(AD\parallel QS\), значит, \(BC\parallel AD\).

Итак, у \(ABCD\) обе пары противоположных сторон параллельны, поэтому он является параллелограммом.