Реши 5 задание

Решим неравенство:

\[ \log_{\frac13}^{\,2}x-4\ge 0. \]

Здесь

\[ \log_{\frac13}^{\,2}x=\left(\log_{\frac13}x\right)^2. \]

1. Область допустимых значений

Логарифм определён только при положительном аргументе:

\[ x>0. \]

2. Сделаем замену

Пусть

\[ t=\log_{\frac13}x. \]

Тогда неравенство примет вид:

\[ t^2-4\ge0. \]

Разложим на множители:

\[ (t-2)(t+2)\ge0. \]

Произведение неотрицательно, если

\[ t\le -2 \quad \text{или} \quad t\ge2. \]

Возвращаемся к \(t\):

\[ \log_{\frac13}x\le -2 \quad \text{или} \quad \log_{\frac13}x\ge2. \]

3. Переходим от логарифмов к \(x\)

Основание логарифма \(\frac13\) находится между \(0\) и \(1\), поэтому функция логарифма убывает, и знак неравенства меняется.

1. Если

\[ \log_{\frac13}x\le -2, \]

то

\[ x\ge\left(\frac13\right)^{-2}=9. \]

2. Если

\[ \log_{\frac13}x\ge2, \]

то

\[ x\le\left(\frac13\right)^2=\frac19. \]

С учётом условия \(x>0\):

\[ \boxed{x\in\left(0;\frac19\right]\cup[9;+\infty)} \]

Ответ:

\[ \boxed{\left(0;\frac19\right]\cup[9;+\infty)} \]

Да, здесь можно применить метод интервалов.

После замены

\[ t=\log_{\frac13}x \]

получаем:

\[ t^2-4\ge0, \]

или

\[ (t-2)(t+2)\ge0. \]

Метод интервалов

Найдём нули множителей:

\[ t-2=0\Rightarrow t=2, \]

\[ t+2=0\Rightarrow t=-2. \]

Отметим точки \(-2\) и \(2\) на числовой прямой:

\[ \begin{array}{c|ccc} t & (-\infty;-2) & (-2;2) & (2;+\infty)\\ \hline (t-2)(t+2) & + & - & + \end{array} \]

Нужно, чтобы произведение было неотрицательным, поэтому берём промежутки со знаком «+» и сами нули:

\[ t\in(-\infty;-2]\cup[2;+\infty). \]

Возвращаемся к логарифму:

\[ \log_{\frac13}x\le-2 \quad\text{или}\quad \log_{\frac13}x\ge2. \]

Так как основание \(\frac13<1\), при переходе к \(x\) знак меняется:

\[ x\ge\left(\frac13\right)^{-2}=9, \]

\[ x\le\left(\frac13\right)^2=\frac19. \]

С учётом \(x>0\):

\[ \boxed{x\in\left(0;\frac19\right]\cup[9;+\infty)} \]

То есть метод интервалов применяется к квадратному неравенству после замены.

Решим все задания с фото.

1) \(\left(\frac12\right)^{1-x}+2^{3+x}\ge9\)

Преобразуем первый показатель:

\[ \left(\frac12\right)^{1-x} =2^{-(1-x)} =2^{x-1}. \]

Также представим вторую степень через \(2^{x-1}\):

\[ 2^{x+3}=2^{x-1}\cdot2^4=16\cdot2^{x-1}. \]

Тогда:

\[ 2^{x-1}+16\cdot2^{x-1}\ge9, \]

\[ 17\cdot2^{x-1}\ge9, \]

\[ 2^{x-1}\ge\frac9{17}. \]

Так как \(2>1\), знак неравенства сохраняется:

\[ x-1\ge\log_2\frac9{17}, \]

\[ x\ge1+\log_2\frac9{17} =\log_2\frac{18}{17}. \]

Ответ:

\[ \boxed{x\in\left[\log_2\frac{18}{17};+\infty\right)} \]

---

2) \(\log_{\frac12}(2x+5)\ge-3\)

ОДЗ

Аргумент логарифма должен быть положительным:

\[ 2x+5>0, \]

\[ x>-\frac52. \]

Так как основание \(\frac12<1\), логарифмическая функция убывает, поэтому при переходе к показательной форме знак меняется:

\[ 0<2x+5\le\left(\frac12\right)^{-3}. \]

Вычислим:

\[ \left(\frac12\right)^{-3}=2^3=8. \]

Получаем:

\[ 2x+5\le8, \]

\[ 2x\le3, \]

\[ x\le\frac32. \]

С учётом ОДЗ:

\[ \boxed{x\in\left(-\frac52;\frac32\right]} \]

---

3) \(0{,}8^{3x^2+x}\le1\)

Так как

\[ 0<0{,}8<1, \]

то степень \(0{,}8^t\) не превосходит единицы при

\[ t\ge0. \]

Значит:

\[ 3x^2+x\ge0. \]

Разложим на множители:

\[ x(3x+1)\ge0. \]

Нули множителей:

\[ x=0,\qquad 3x+1=0\Rightarrow x=-\frac13. \]

По методу интервалов:

\[ x\in\left(-\infty;-\frac13\right]\cup[0;+\infty). \]

Ответ:

\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac13\right]\cup[0;+\infty)} \]

---

4) \(\log_3^2x-3\log_3x\ge0\)

Запись \(\log_3^2x\) означает:

\[ \left(\log_3x\right)^2. \]

ОДЗ

\[ x>0. \]

Сделаем замену:

\[ t=\log_3x. \]

Тогда:

\[ t^2-3t\ge0, \]

\[ t(t-3)\ge0. \]

По методу интервалов:

\[ t\le0\quad\text{или}\quad t\ge3. \]

Возвращаемся к \(x\). Так как \(3>1\), знак сохраняется:

\[ \log_3x\le0\Rightarrow x\le3^0=1, \]

\[ \log_3x\ge3\Rightarrow x\ge3^3=27. \]

С учётом \(x>0\):

\[ \boxed{x\in(0;1]\cup[27;+\infty)} \]

Тогда первое задание решается так:

\[ \left(\frac12\right)^{-x}+2^{3+x}\ge9. \]

Преобразуем первую степень:

\[ \left(\frac12\right)^{-x}=2^x. \]

Тогда:

\[ 2^x+2^{x+3}\ge9. \]

Вынесем \(2^x\) за скобки:

\[ 2^x(1+2^3)\ge9, \]

\[ 9\cdot2^x\ge9. \]

Делим на \(9>0\):

\[ 2^x\ge1. \]

Так как \(2>1\), получаем:

\[ x\ge0. \]

Ответ:

\[ \boxed{x\in[0;+\infty)} \]

4. Решим неравенство

\[ \log_3^2 x-3\log_3 x\ge0. \]

Запись \(\log_3^2x\) означает квадрат логарифма:

\[ \log_3^2x=(\log_3x)^2. \]

Значит, неравенство имеет вид:

\[ (\log_3x)^2-3\log_3x\ge0. \]

1. ОДЗ

Аргумент логарифма должен быть положительным:

\[ x>0. \]

2. Сделаем замену

Пусть

\[ t=\log_3x. \]

Тогда получаем обычное квадратное неравенство:

\[ t^2-3t\ge0. \]

Вынесем \(t\) за скобки:

\[ t(t-3)\ge0. \]

3. Применим метод интервалов

Найдём нули множителей:

\[ t=0,\qquad t-3=0\Rightarrow t=3. \]

Разобьём числовую прямую точками \(0\) и \(3\):

\[ \begin{array}{c|ccc} t & (-\infty;0) & (0;3) & (3;+\infty)\\ \hline t(t-3) & + & - & + \end{array} \]

Нам нужно, чтобы произведение было неотрицательным, то есть положительным или равным нулю. Поэтому берём промежутки со знаком «+» и точки \(0\) и \(3\):

\[ t\in(-\infty;0]\cup[3;+\infty). \]

4. Возвращаемся к \(x\)

Так как

\[ t=\log_3x, \]

получаем:

\[ \log_3x\le0 \quad\text{или}\quad \log_3x\ge3. \]

Основание логарифма \(3>1\), поэтому знак неравенства сохраняется.

Первое неравенство:

\[ \log_3x\le0 \]

\[ x\le3^0=1. \]

С учётом ОДЗ \(x>0\):

\[ x\in(0;1]. \]

Второе неравенство:

\[ \log_3x\ge3 \]

\[ x\ge3^3=27. \]

Получаем:

\[ x\in[27;+\infty). \]

Ответ

\[ \boxed{x\in(0;1]\cup[27;+\infty)} \]

После замены

\[ t=\log_3 x \]

нужно вернуться от \(t\) к \(x\).

Если \(t=0\)

Подставляем вместо \(t\) его выражение:

\[ \log_3 x=0. \]

По определению логарифма:

\[ x=3^0=1. \]

Значит, точке \(t=0\) соответствует точка \(x=1\).

Если \(t=3\)

Аналогично:

\[ \log_3 x=3, \]

отсюда

\[ x=3^3=27. \]

Значит, точке \(t=3\) соответствует точка \(x=27\).

Поэтому промежутки

\[ t\in(-\infty;0]\cup[3;+\infty) \]

переходят в

\[ x\in(0;1]\cup[27;+\infty). \]

Число \(0\) превращается в \(1\), потому что \(3^0=1\), а число \(3\) — в \(27\), потому что \(3^3=27\).