Реши

Краткий ответ:

а)
\[ \frac{\sqrt a-\sqrt b}{a-b} =\frac1{\sqrt a+\sqrt b} \]

б)
\[ \frac{a-9}{\sqrt a+3}=\sqrt a-3 \]

в)
\[ \frac{x-2\sqrt{xy}+y}{x-y} =\frac{\sqrt x-\sqrt y}{\sqrt x+\sqrt y} \]

Решение

а) Используем разность квадратов: \[ a-b=(\sqrt a)^2-(\sqrt b)^2 =(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b). \]

Тогда: \[ \frac{\sqrt a-\sqrt b} {(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)} =\frac1{\sqrt a+\sqrt b}. \]

б) Представим \(a-9\) как разность квадратов: \[ a-9=(\sqrt a)^2-3^2=(\sqrt a-3)(\sqrt a+3). \]

Поэтому: \[ \frac{(\sqrt a-3)(\sqrt a+3)} {\sqrt a+3}=\sqrt a-3. \]

в) Числитель — квадрат разности: \[ x-2\sqrt{xy}+y=(\sqrt x-\sqrt y)^2. \]

Знаменатель: \[ x-y=(\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y). \]

Следовательно: \[ \frac{(\sqrt x-\sqrt y)^2} {(\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y)} =\frac{\sqrt x-\sqrt y}{\sqrt x+\sqrt y}. \]

Проверка основана на формулах: \[ u^2-v^2=(u-v)(u+v),\qquad u^2-2uv+v^2=(u-v)^2. \]

Ограничения: \(a,b,x,y\ge 0\); в пунктах а) и в) знаменатель исходной дроби не должен быть равен нулю.