Сделай с 12 по 16
Краткие ответы
- 4 часа
- 45 км/ч
- 12 минут
- 25 км/ч
- 70 км/ч
Решение
12
48 минут \(=0{,}8\) часа.
Пусть велосипедист затратил на весь путь \(T\) часов. Тогда мотоциклист затратил \(T-3\) часа.
Если весь путь равен \(S\), то их скорости:
\[ v_{\text{вел}}=\frac{S}{T}, \qquad v_{\text{мот}}=\frac{S}{T-3}. \]
Время до встречи при движении навстречу:
\[ 0{,}8=\frac{S}{v_{\text{вел}}+v_{\text{мот}}}. \]
Подставим скорости:
\[ 0{,}8= \frac{1}{\frac1T+\frac1{T-3}} = \frac{T(T-3)}{2T-3}. \]
Решаем:
\[ \frac45=\frac{T(T-3)}{2T-3}, \]
\[ 5T(T-3)=4(2T-3), \]
\[ 5T^2-23T+12=0. \]
Корни:
\[ T=4 \quad \text{или} \quad T=0{,}6. \]
Так как \(T>3\), подходит только \(T=4\).
Ответ: \(4\) часа.
13
750 м \(=0{,}75\) км за минуту, то есть
\[ 0{,}75\cdot 60=45\text{ км/ч}. \]
Пусть скорость товарного поезда \(v\) км/ч. Тогда скорость скорого поезда \(v+45\) км/ч.
Разность времён движения равна 2 часа:
\[ \frac{180}{v}-\frac{180}{v+45}=2. \]
\[ \frac{8100}{v(v+45)}=2, \]
\[ v(v+45)=4050, \]
\[ v^2+45v-4050=0. \]
Положительный корень:
\[ v=45. \]
Проверка:
\[ \frac{180}{45}=4\text{ ч}, \qquad \frac{180}{90}=2\text{ ч}. \]
Разница \(4-2=2\) часа.
Ответ: \(45\) км/ч.
14
Разность скоростей пешеходов равна:
\[ 1{,}5\text{ км/ч}. \]
Расстояние \(300\) м \(=0{,}3\) км.
При движении в одном направлении расстояние увеличивается со скоростью \(1{,}5\) км/ч:
\[ t=\frac{0{,}3}{1{,}5}=0{,}2\text{ ч}. \]
Переведём в минуты:
\[ 0{,}2\cdot 60=12\text{ минут}. \]
Ответ: \(12\) минут.
15
Третий велосипедист начинает движение через 2 часа после первого. Пусть он догнал второго через \(x\) часов после своего старта, а его скорость равна \(v\) км/ч.
К моменту старта третьего:
- первый проехал \(15\cdot 2=30\) км;
- второй только начинает движение.
Через \(x\) часов:
\[ vx=10+10x, \]
откуда
\[ v=10+\frac{10}{x}. \]
В момент встречи со вторым первый велосипедист находится впереди на расстоянии:
\[ 15(2+x)-10(1+x)=20+5x. \]
Через \(2\) ч \(20\) мин \(=\frac73\) ч третий догоняет первого:
\[ \left(v-15\right)\frac73=20+5x. \]
Подставим \(v=10+\frac{10}{x}\):
\[ \left(\frac{10}{x}-5\right)\frac73=20+5x. \]
После упрощения:
\[ 3x^2+19x-14=0. \]
Положительный корень:
\[ x=\frac23. \]
Тогда
\[ v=10+\frac{10}{2/3}=10+15=25\text{ км/ч}. \]
Ответ: \(25\) км/ч.
16
Пусть всё время движения равно \(T\) часов. Половину времени автомобиль ехал со скоростью \(74\) км/ч, а вторую половину — со скоростью \(66\) км/ч.
Средняя скорость:
\[ v_{\text{ср}}= \frac{74\cdot \frac T2+66\cdot \frac T2}{T}. \]
Сокращаем \(T\):
\[ v_{\text{ср}}=\frac{74+66}{2}=70\text{ км/ч}. \]
Так как промежутки времени равны, средняя скорость равна среднему арифметическому скоростей.
Ответ: \(70\) км/ч.
Обсуждение
2 сообщенияРеши все задачи другим способом
Решим задачи 12–16 другими способами.
12
Пусть мотоциклист проходит весь путь за \(t\) часов. Тогда велосипедист проходит тот же путь за \(t+3\) часа.
За \(48\) минут, то есть за \(\frac45\) часа, они вместе прошли весь путь. Доли пути:
\[ \frac{\frac45}{t}+\frac{\frac45}{t+3}=1. \]
Умножим на \(5t(t+3)\):
\[ 4(t+3)+4t=5t(t+3), \]
\[ 8t+12=5t^2+15t, \]
\[ 5t^2+7t-12=0. \]
Разложим на множители:
\[ (5t+12)(t-1)=0. \]
Подходит \(t=1\). Значит, мотоциклист ехал \(1\) час, а велосипедист:
\[ 1+3=4\text{ ч}. \]
Ответ: \(4\) часа.
13
Расстояние между станциями — \(180\) км.
Разница скоростей:
\[ 750\text{ м/мин}=0{,}75\text{ км/мин}=45\text{ км/ч}. \]
Пусть скорый поезд ехал \(t\) часов. Тогда товарный поезд ехал \(t+2\) часа.
Скорости поездов:
\[ \frac{180}{t} \quad\text{и}\quad \frac{180}{t+2}. \]
Их разность равна \(45\) км/ч:
\[ \frac{180}{t}-\frac{180}{t+2}=45. \]
\[ \frac{360}{t(t+2)}=45, \]
\[ t(t+2)=8. \]
\[ t^2+2t-8=0, \]
\[ (t-2)(t+4)=0. \]
Получаем \(t=2\) часа.
Скорость скорого поезда:
\[ \frac{180}{2}=90\text{ км/ч}. \]
Скорость товарного поезда:
\[ 90-45=45\text{ км/ч}. \]
Ответ: \(45\) км/ч.
14
Начальное расстояние между пешеходами — \(300\) м.
Один пешеход удаляется от другого со скоростью, равной разности их скоростей:
\[ 1{,}5\text{ км/ч}. \]
Переведём в метры в минуту:
\[ 1{,}5\text{ км/ч} =\frac{1500}{60}=25\text{ м/мин}. \]
Время удаления на \(300\) м:
\[ t=\frac{300}{25}=12\text{ мин}. \]
Ответ: \(12\) минут.
15
Пусть \(t\) — время от начала движения третьего велосипедиста до встречи со вторым, а \(v\) — скорость третьего велосипедиста.
Из условия:
- первый едет со скоростью \(15\) км/ч;
- второй — \(10\) км/ч;
- третий начинает движение через \(2\) часа после первого;
- второй начал движение за \(1\) час до третьего;
- через \(2\) ч \(20\) мин после встречи со вторым третий догнал первого.
1. Встреча третьего со вторым
За \(t\) часов третий проехал \(vt\), а второй — \(10(t+1)\):
\[ vt=10(t+1). \]
Отсюда:
\[ (v-10)t=10, \]
\[ t=\frac{10}{v-10}. \]
2. Встреча с первым
В момент встречи со вторым первый был впереди на расстояние:
\[ 15(t+2)-10(t+1)=5t+20. \]
Третий догнал первого за
\[ 2\text{ ч }20\text{ мин}=\frac73\text{ ч}. \]
Поэтому:
\[ (v-15)\cdot\frac73=5t+20. \]
Подставим \(t=\frac{10}{v-10}\):
\[ (v-15)\cdot\frac73= \frac{50}{v-10}+20. \]
Пусть \(u=v-10\). Тогда \(v-15=u-5\):
\[ \frac73(u-5)=\frac{50}{u}+20. \]
Умножим на \(3u\):
\[ 7u(u-5)=150+60u, \]
\[ 7u^2-95u-150=0. \]
Положительный корень:
\[ u=15. \]
Значит,
\[ v=u+10=15+10=25\text{ км/ч}. \]
Ответ: \(25\) км/ч.
16
Пусть каждая половина времени движения длилась \(t\) часов.
За первую половину автомобиль прошёл:
\[ 74t\text{ км}, \]
за вторую:
\[ 66t\text{ км}. \]
Весь путь:
\[ 74t+66t=140t. \]
Всё время движения:
\[ 2t. \]
Средняя скорость:
\[ v_{\text{ср}}=\frac{140t}{2t}=70\text{ км/ч}. \]
Ответ: \(70\) км/ч.
