423/424 задания

Краткий ответ

423.

1. \(\displaystyle S=\frac{216}{35}\);
2. \(\displaystyle S=-\frac{125}{4}\).

424.

1. \(\displaystyle 0,(5)=\frac59\);
2. \(\displaystyle 0,(8)=\frac89\);
3. \(\displaystyle 0,(32)=\frac{32}{99}\);
4. \(\displaystyle 0,2(5)=\frac{23}{90}\).

423. Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Используем формулу:

\[ S_\infty=\frac{b_1}{1-q}, \qquad |q|<1. \]

1) \(6;\ \frac16;\ldots\)

\[ q=\frac{\frac16}{6}=\frac1{36}. \]

\[ S_\infty=\frac{6}{1-\frac1{36}} =\frac{6}{\frac{35}{36}} =\frac{216}{35}. \]

Проверка: \(\left|\frac1{36}\right|<1\), поэтому формула применима.

2) \(-25;\ -5;\ -1;\ldots\)

\[ q=\frac{-5}{-25}=\frac15. \]

\[ S_\infty=\frac{-25}{1-\frac15} =\frac{-25}{\frac45} =-\frac{125}{4}. \]

Проверка: \(\left|\frac15\right|<1\).

424. Перевод периодических дробей

Если период начинается сразу после запятой:

\[ 0,(a)=\frac{a}{9},\qquad 0,(ab)=\frac{ab}{99}. \]

Поэтому:

\[ 0,(5)=\frac59,\qquad 0,(8)=\frac89,\qquad 0,(32)=\frac{32}{99}. \]

Для \(0,2(5)=0{,}25555\ldots\) обозначим дробь через \(x\):

\[ x=0{,}25555\ldots \]

Умножим на \(10\):

\[ 10x=2{,}5555\ldots \]

Вычтем:

\[ 10x-x=2{,}5555\ldots-0{,}2555\ldots \]

\[ 9x=2{,}3=\frac{23}{10}, \qquad x=\frac{23}{90}. \]