423/424 задания

423. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Используем формулу суммы: \[ S=\frac{a_1}{1-q},\qquad |q|<1, \] где \(a_1\) — первый член, \(q\) — знаменатель прогрессии.

1. \(6;\ 1;\ \frac16;\ldots\)

\[ q=\frac16,\qquad S=\frac{6}{1-\frac16}=\frac{36}{5}=7{,}2. \]

2. \(-25;\ -5;\ -1;\ldots\)

\[ q=\frac{-5}{-25}=\frac15,\qquad S=\frac{-25}{1-\frac15}=-\frac{125}{4}=-31{,}25. \]

424. Записать периодические дроби в виде обыкновенных

Представим каждую дробь как сумму бесконечной геометрической прогрессии.

1. \[ 0,(5)=0{,}5+0{,}05+0{,}005+\ldots=\frac{5}{9}. \]

2. \[ 0,(8)=\frac{8}{10}+\frac{8}{100}+\ldots=\frac{8}{9}. \]

3. \[ 0,(32)=\frac{32}{100}+\frac{32}{10000}+\ldots=\frac{32}{99}. \]

4. \[ 0,2(5)=0{,}2+0{,}05+0{,}005+\ldots =\frac15+\frac{1}{18}=\frac{23}{90}. \]