Реши задание на изображении
Задание 1
Ответ: \(\angle MPN=37^\circ\).
Обозначим \(\angle BPN=x\). Так как \(\angle KPB\) и \(\angle BPN\) смежные, их сумма равна \(180^\circ\), поэтому \[ \angle KPB=180^\circ-x. \] Луч \(PC\) — биссектриса, значит \[ \angle BPC=\frac{180^\circ-x}{2}. \] По условию \(\angle BPC\) на \(21^\circ\) меньше \(\angle BPN\): \[ \frac{180-x}{2}=x-21. \] Решаем: \(180-x=2x-42\), откуда \(x=74^\circ\). Луч \(PM\) — биссектриса угла \(BPN\), поэтому \[ \angle MPN=\frac{74^\circ}{2}=37^\circ. \]
Задание 2
Ответы: \[ \angle CBK=29^\circ,\qquad \angle PBO=122^\circ,\qquad \angle ABC=122^\circ. \]
По условию \(\angle ABM=\angle MBP=29^\circ\), значит \[ \angle ABP=29^\circ+29^\circ=58^\circ. \]
- \(\angle CBK\) и \(\angle MBP\) — вертикальные, значит \(\angle CBK=29^\circ\).
- Лучи \(BA\) и \(BO\) — противоположные, поэтому \(\angle ABP+\angle PBO=180^\circ\). Отсюда \(\angle PBO=180^\circ-58^\circ=122^\circ\).
- \(\angle ABC\) и \(\angle PBO\) — вертикальные, значит \(\angle ABC=122^\circ\).
Задание 3
Пусть две прямые пересекаются и образуют вертикальные углы \(\angle 1\) и \(\angle 3\). Угол \(\angle 2\) смежный с каждым из них, поэтому \[ \angle 1+\angle 2=180^\circ,\qquad \angle 3+\angle 2=180^\circ. \] Вычитая из равных сумм один и тот же угол \(\angle 2\), получаем \(\angle 1=\angle 3\). Значит, вертикальные углы равны.
Обсуждение
2 сообщенияСделай решение кратче
1
Пусть \(\angle BPN=x\). Тогда \[ \frac{180^\circ-x}{2}=x-21^\circ, \] откуда \(x=74^\circ\). Так как \(PM\) — биссектриса, \(\angle MPN=37^\circ\).
2
\[ \angle ABP=29^\circ+29^\circ=58^\circ. \] Вертикальные углы равны, а смежные в сумме дают \(180^\circ\): \[ \angle CBK=29^\circ,\quad \angle PBO=180^\circ-58^\circ=122^\circ,\quad \angle ABC=122^\circ. \]
3
Вертикальные углы смежны с одним и тем же углом, поэтому каждый равен \(180^\circ\) минус этот угол. Значит, вертикальные углы равны.
