Реши задание на изображении
Краткие ответы
- \(F\approx1{,}5\cdot10^{22}\ \text{Н}\) — если в условии действительно указана масса Луны \(6\cdot10^{24}\ \text{кг}\).
- \(F\approx0{,}17\ \text{Н}\).
- \(M_{\text{Земли}}\approx6{,}0\cdot10^{24}\ \text{кг}\).
- а) \(1010\ \text{Н}\); б) \(980\ \text{Н}\); в) \(940\ \text{Н}\); г) \(0\ \text{Н}\).
- На полюсе — \(9{,}8\ \text{Н}\); на экваторе — примерно \(9{,}77\ \text{Н}\).
- \(v\approx19{,}8\ \text{м/с}\), или примерно \(71\ \text{км/ч}\).
- Вес космонавта — \(2384\ \text{Н}\); перегрузка — примерно \(3{,}04g\).
- \(g_{\text{Венеры}}\approx8{,}9\ \text{м/с}^2\).
Решение
Используем \(G=6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2\) и \(g=9{,}8\ \text{м/с}^2\).
1. Сила притяжения Луны и Земли
По закону всемирного тяготения:
\[ F=G\frac{m_{\text{Л}}m_{\text{З}}}{r^2} =6{,}67\cdot10^{-11} \frac{(6\cdot10^{24})(6\cdot10^{24})}{(4\cdot10^8)^2} \approx1{,}5\cdot10^{22}\ \text{Н}. \]
Показатель степени массы Луны на фото читается как \(24\), поэтому расчёт сделан по этому значению. Если там должно быть \(6\cdot10^{22}\ \text{кг}\) (обычное приближённое значение массы Луны), сила будет \(1{,}5\cdot10^{20}\ \text{Н}\).
2. Притяжение двух кораблей
\(50\,000\ \text{т}=5\cdot10^7\ \text{кг}\), а \(1\ \text{км}=10^3\ \text{м}\):
\[ F=G\frac{m^2}{r^2} =6{,}67\cdot10^{-11}\frac{(5\cdot10^7)^2}{(10^3)^2} \approx0{,}17\ \text{Н}. \]
3. Масса Земли
Из \(g=GM/R^2\) выразим массу:
\[ M=\frac{gR^2}{G},\qquad R=6370\ \text{км}=6{,}37\cdot10^6\ \text{м}. \]
\[ M=\frac{9{,}8(6{,}37\cdot10^6)^2}{6{,}67\cdot10^{-11}} \approx6{,}0\cdot10^{24}\ \text{кг}. \]
4. Вес груза в клети
При ускорении вверх вес \(P=m(g+a)\), при ускорении вниз — \(P=m(g-a)\). При равномерном движении \(P=mg\), а при свободном падении вес равен нулю.
- а) вверх с ускорением \(0{,}3\ \text{м/с}^2\): \[ P=100(9{,}8+0{,}3)=1010\ \text{Н}; \]
- б) равномерно: \[ P=100\cdot9{,}8=980\ \text{Н}; \]
- в) вниз с ускорением \(0{,}4\ \text{м/с}^2\): \[ P=100(9{,}8-0{,}4)=940\ \text{Н}; \]
- г) свободное падение: \(P=0\).
5. Вес тела на полюсе и экваторе
На полюсе вращение Земли не уменьшает вес: \(P=mg=9{,}8\ \text{Н}\).
На экваторе нужно учесть центробежное ускорение Земли:
\[ P=m(g-\omega^2R),\qquad \omega=\frac{2\pi}{T},\quad T=24\cdot3600\ \text{с}. \]
При \(R=6{,}4\cdot10^6\ \text{м}\):
\[ P\approx1\left(9{,}8-\left(\frac{2\pi}{86400}\right)^2 \cdot6{,}4\cdot10^6\right)\approx9{,}77\ \text{Н}. \]
6. Скорость на вершине выпуклого моста
Чтобы пассажир стал невесомым, сила реакции опоры должна быть равна нулю. Тогда сила тяжести обеспечивает центростремительное ускорение:
\[ mg=\frac{mv^2}{R} \quad\Rightarrow\quad v=\sqrt{gR} =\sqrt{9{,}8\cdot40} \approx19{,}8\ \text{м/с}. \]
Переводим в километры в час: \(19{,}8\cdot3{,}6\approx71\ \text{км/ч}\).
7. Вес космонавта в ракете
При ускорении ракеты вверх:
\[ P=m(g+a)=80(9{,}8+20)=2384\ \text{Н}. \]
Перегрузка — отношение этого веса к обычному:
\[ n=\frac{g+a}{g}=\frac{29{,}8}{9{,}8}\approx3{,}04. \]
То есть космонавт чувствует вес примерно в \(3{,}04\) раза больше обычного. Дополнительная сила по сравнению с обычным весом составляет \(ma=1600\ \text{Н}\).
8. Свободное падение на Венере
Масса планеты \(M=\rho\frac{4}{3}\pi R^3\). Подставляя её в \(g=GM/R^2\), получаем:
\[ g=\frac{4}{3}\pi G\rho R. \]
\[ g=\frac{4}{3}\pi(6{,}67\cdot10^{-11})(5200)(6{,}1\cdot10^6) \approx8{,}9\ \text{м/с}^2. \]
