Краткий ответ: параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. В нём противоположные стороны и углы равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам. Ниже — готовый опорный конспект.

Опорный конспект: параллелограмм

1. Основной рисунок

        B────────C
       /          /
      A────────D

\[ AB\parallel CD,\qquad AD\parallel BC \]

2. Определение и свойства

Понятие или теорема	Что нужно запомнить
Определение	Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойство 1	Противоположные стороны параллелограмма равны: \(\ AB=CD,\ AD=BC\).
Свойство 2	Противоположные углы равны: \(\angle A=\angle C,\ \angle B=\angle D\).
Свойство 3	Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Если диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), то \(AO=OC,\ BO=OD\).
Следствие	Сумма соседних углов равна \(180^\circ\): \(\angle A+\angle B=180^\circ\).
Ещё одно свойство	Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

Рисунок с диагоналями

        B────────C
       / ╲      /
      /   ╲  ╱
     /     O
    A──────╲──D

На рисунке нужно провести диагонали \(AC\) и \(BD\), их точка пересечения — \(O\).

---

3. Почему свойства верны

Проведём диагональ \(AC\).

Получаются треугольники \(ABC\) и \(CDA\).

Так как \(AB\parallel CD\) и \(AD\parallel BC\), то:

\[ \angle BAC=\angle DCA, \]

\[ \angle BCA=\angle DAC. \]

Сторона \(AC\) — общая. Значит,

\[ \triangle ABC=\triangle CDA \]

по стороне и двум прилежащим углам.

Из равенства треугольников следует:

\[ AB=CD,\qquad BC=AD, \]

а также равенство противоположных углов.

---

4. Признаки параллелограмма

Чтобы доказать, что четырёхугольник является параллелограммом, достаточно применить один из трёх признаков.

№	Признак	Что написать в доказательстве
1	Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.	\(AB\parallel CD\) и \(AB=CD\), значит \(ABCD\) — параллелограмм.
2	Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.	\(AB=CD,\ AD=BC\), значит \(ABCD\) — параллелограмм.
3	Если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.	\(AO=OC,\ BO=OD\), значит \(ABCD\) — параллелограмм.

Как отмечать условия на рисунке

• параллельные стороны — одинаковыми стрелками;
• равные стороны — одинаковым количеством штрихов;
• равные углы — одинаковыми дугами;
• \(AO=OC\) и \(BO=OD\) — одинаковыми штрихами на частях диагоналей.

---

5. Как распознать нужный признак

1. Видишь равные и параллельные противоположные стороны — применяй признак 1.
2. Видишь, что обе пары противоположных сторон равны — применяй признак 2.
3. Видишь, что диагонали делятся пополам — применяй признак 3.
4. После доказательства можно использовать все свойства параллелограмма.

Пример

Дано:

\[ AB\parallel CD,\qquad AB=CD. \]

Следовательно, по первому признаку \(ABCD\) — параллелограмм.

Тогда можно записать:

\[ AD=BC,\qquad \angle A=\angle C, \]

\[ \angle B=\angle D. \]

Если диагонали пересекаются в точке \(O\), то:

\[ AO=OC,\qquad BO=OD. \]

---

Кратко о трапеции

Рисунок

        A────────B
       /          \
      D────────────C

\[ AB\parallel DC \]

\(AB\) и \(DC\) — основания, \(AD\) и \(BC\) — боковые стороны.

Понятие или теорема	Формулировка
Определение	Трапеция — это четырёхугольник, у которого только одна пара противоположных сторон параллельна.
Углы трапеции	Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна \(180^\circ\): \(\angle A+\angle D=180^\circ\), \(\angle B+\angle C=180^\circ\).
Средняя линия	Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям и равен их полусумме.
Формула средней линии	\(\displaystyle MN=\frac{AB+DC}{2}\).
Равнобедренная трапеция	Если боковые стороны равны: \(AD=BC\), то углы при каждом основании равны: \(\angle A=\angle B,\ \angle D=\angle C\).
Диагонали равнобедренной трапеции	В равнобедренной трапеции диагонали равны: \(AC=BD\).

Главное для запоминания

\[ \boxed{ \begin{aligned} &AB\parallel CD,\ AD\parallel BC;\\ &AB=CD,\ AD=BC;\\ &\angle A=\angle C,\ \angle B=\angle D;\\ &AO=OC,\ BO=OD. \end{aligned}} \]

Проверка себя: если в задаче нужно доказать, что четырёхугольник — параллелограмм, обязательно укажи, какой именно признак применён.