сделай пожалуйста 484

Краткий ответ: если \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\), то

\[ MN\parallel BC,\qquad MN=\frac12BC. \]

Доказательство

Проведём через точку \(M\) прямую, параллельную \(BC\). Она пересечёт сторону \(AC\) в точке \(N_1\).

Треугольники \(AMN_1\) и \(ABC\) подобны, так как:

• \(\angle A\) у них общий;
• \(\angle AMN_1=\angle ABC\) как соответственные углы при параллельных прямых.

Так как \(M\) — середина \(AB\), то

\[ AM=\frac12AB. \]

Из подобия треугольников следует:

\[ \frac{AN_1}{AC}=\frac{AM}{AB}=\frac12. \]

Значит,

\[ AN_1=\frac12AC. \]

Но \(N\) — середина \(AC\), поэтому \(AN=\frac12AC\). Следовательно, точки \(N_1\) и \(N\) совпадают.

Таким образом,

\[ MN\parallel BC. \]

Из подобия также получаем:

\[ \frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac12, \]

откуда

\[ MN=\frac12BC. \]

Итак, средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.