Реши задание на изображении
Краткий ответ
№ 1:
- в) \(\displaystyle x=\pm\frac{\sqrt3}{3}\);
- г) \(\displaystyle y=4\).
№ 2: второй рабочий делает 15 деталей в час.
№ 3: второй рабочий делает 13 деталей в час.
№ 1. Решение уравнений
Приравниваем дробь к нулю: числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — не равен нулю.
в)
\[ \frac{6x^3+48x^2-2x-16}{x^2-64}=0 \]
Разложим числитель на множители:
\[ 6x^3+48x^2-2x-16 =6x^2(x+8)-2(x+8) \]
\[ =(x+8)(6x^2-2)=2(x+8)(3x^2-1) \]
Знаменатель:
\[ x^2-64=(x-8)(x+8) \]
ОДЗ:
\[ x\ne 8,\qquad x\ne -8. \]
Решаем уравнение числителя:
\[ 2(x+8)(3x^2-1)=0 \]
\[ x=-8 \quad\text{или}\quad 3x^2-1=0. \]
Корень \(x=-8\) не подходит, так как обращает знаменатель в ноль.
\[ 3x^2=1,\qquad x^2=\frac13 \]
\[ \boxed{x=\pm\frac{\sqrt3}{3}}. \]
г)
\[ \frac{y^3-4y^2-6y+24}{y^3-6y}=0 \]
Разложим числитель:
\[ y^3-4y^2-6y+24 =y^2(y-4)-6(y-4) \]
\[ =(y-4)(y^2-6) \]
Знаменатель:
\[ y^3-6y=y(y^2-6) \]
ОДЗ:
\[ y\ne0,\qquad y\ne\pm\sqrt6. \]
Решаем:
\[ (y-4)(y^2-6)=0 \]
\[ y=4 \quad\text{или}\quad y=\pm\sqrt6. \]
Корни \(y=\pm\sqrt6\) исключаются по ОДЗ.
\[ \boxed{y=4}. \]
Проверка:
\[ 4^3-4\cdot4^2-6\cdot4+24=64-64-24+24=0, \]
а знаменатель при \(y=4\) не равен нулю.
№ 2
Пусть второй рабочий делает \(x\) деталей в час. Тогда первый делает \(x+5\) деталей в час.
Время выполнения заказа:
\[ \frac{180}{x} \]
— у второго рабочего и
\[ \frac{180}{x+5} \]
— у первого.
Первый работает на 3 часа быстрее:
\[ \frac{180}{x}-\frac{180}{x+5}=3. \]
Решим:
\[ \frac{180(x+5)-180x}{x(x+5)}=3 \]
\[ \frac{900}{x(x+5)}=3 \]
\[ x(x+5)=300 \]
\[ x^2+5x-300=0 \]
\[ (x-15)(x+20)=0. \]
Так как количество деталей положительно, \(x=15\).
Ответ:
\[ \boxed{15\text{ деталей в час}}. \]
Проверка:
\[ \frac{180}{15}=12\text{ ч},\qquad \frac{180}{20}=9\text{ ч}, \]
разница составляет \(12-9=3\) часа.
№ 3
Пусть второй рабочий делает \(x\) деталей в час. Тогда первый делает \(x+13\) деталей в час.
Составим уравнение:
\[ \frac{208}{x}-\frac{208}{x+13}=8. \]
\[ \frac{208\cdot13}{x(x+13)}=8 \]
\[ x(x+13)=\frac{208\cdot13}{8}=338 \]
\[ x^2+13x-338=0. \]
Дискриминант:
\[ D=13^2-4\cdot1\cdot(-338)=169+1352=1521=39^2. \]
\[ x=\frac{-13\pm39}{2}. \]
\[ x_1=13,\qquad x_2=-26. \]
Отрицательный корень не подходит.
Ответ:
\[ \boxed{13\text{ деталей в час}}. \]
Проверка:
\[ \frac{208}{13}=16\text{ ч},\qquad \frac{208}{26}=8\text{ ч}, \]
разница составляет \(16-8=8\) часов.
