4-6
Краткий ответ:
- \(\displaystyle S=\frac23\) кв. ед.
- \(\displaystyle S=\frac{52}{3}\) кв. ед.
- \(\displaystyle S=\frac{72}{\ln 3}-2\) кв. ед.
Площадь криволинейной трапеции находится по формуле:
\[ S=\int_a^b f(x)\,dx, \]
если график функции расположен выше оси \(Ox\).
4) \(\displaystyle y=\frac1{(x+2)^2},\quad x\in[-1;1]\)
Функция положительна на всём отрезке:
\[ S=\int_{-1}^{1}\frac{dx}{(x+2)^2} =\left.-\frac1{x+2}\right|_{-1}^{1}. \]
\[ S=-\frac13-\left(-1\right)=\frac23. \]
5) \(\displaystyle y=\sqrt{x+4},\quad x\in[-3;5]\)
\[ S=\int_{-3}^{5}\sqrt{x+4}\,dx =\left.\frac23(x+4)^{3/2}\right|_{-3}^{5}. \]
\[ S=\frac23\left(9^{3/2}-1^{3/2}\right) =\frac23(27-1)=\frac{52}{3}. \]
6) \(\displaystyle y=\left(\frac13\right)^x-1,\quad x\in[-4;-2]\)
На этом отрезке функция положительна, так как при отрицательных \(x\)
\[ \left(\frac13\right)^x>1. \]
\[ S=\int_{-4}^{-2}\left(\left(\frac13\right)^x-1\right)dx. \]
Используем:
\[ \int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}. \]
Тогда
\[ S=\left.\left(\frac{(1/3)^x}{\ln(1/3)}-x\right)\right|_{-4}^{-2}. \]
Так как \(\ln(1/3)=-\ln3\), получаем:
\[ S=\left(-\frac9{\ln3}+2\right) -\left(-\frac{81}{\ln3}+4\right) =\frac{72}{\ln3}-2. \]
Все найденные площади положительны, значит результаты проверены.
