Реши задание на изображении

Краткий ответ: \[ \boxed{x\in[1;+\infty)} \]

Решаем неравенство: \[ |x-3|+|x+1|\le 3x+1. \]

Точки, где выражения под модулями равны нулю: \[ x-3=0\Rightarrow x=3,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1. \]

Разбиваем числовую прямую на промежутки.

1. \(x<-1\)

\[ |x-3|=3-x,\qquad |x+1|=-x-1. \]

Тогда: \[ (3-x)+(-x-1)\le 3x+1, \] \[ 2-2x\le 3x+1, \] \[ 1\le 5x,\qquad x\ge \frac15. \]

Это противоречит условию \(x<-1\), решений нет.

2. \(-1\le x<3\)

\[ |x-3|=3-x,\qquad |x+1|=x+1. \]

\[ (3-x)+(x+1)\le 3x+1, \] \[ 4\le 3x+1, \] \[ x\ge 1. \]

Получаем: \[ x\in[1;3). \]

3. \(x\ge 3\)

\[ |x-3|=x-3,\qquad |x+1|=x+1. \]

\[ (x-3)+(x+1)\le 3x+1, \] \[ 2x-2\le 3x+1, \] \[ x\ge -3. \]

Это верно для всех \(x\ge3\), поэтому: \[ x\in[3;+\infty). \]

Объединяем: \[ [1;3)\cup[3;+\infty)=[1;+\infty). \]

Проверка: при \(x=1\) \[ |1-3|+|1+1|=2+2=4,\qquad 3\cdot1+1=4. \] Равенство выполняется, значит \(x=1\) входит в ответ.