528

Краткий ответ: если \(E=AN\cap BD\), а \(F=MC\cap BD\), то
\[ BE=EF=FD=\frac13BD. \] Значит, прямые \(AN\) и \(MC\) делят диагональ \(BD\) на три равные части.

Доказательство

Обозначим \[ \vec{AB}=\mathbf b,\qquad \vec{AD}=\mathbf d. \] Примем точку \(A\) за начало отсчёта. Тогда: \[ B=\mathbf b,\quad D=\mathbf d,\quad C=\mathbf b+\mathbf d. \]

Так как \(M\) и \(N\) — середины сторон, то \[ M=\frac12\mathbf d,\qquad N=\mathbf b+\frac12\mathbf d. \]

Пусть \(E=AN\cap BD\). Любая точка диагонали \(BD\) имеет вид \[ X=(1-\lambda)\mathbf b+\lambda\mathbf d, \] где \(\lambda=\dfrac{BX}{BD}\).

С другой стороны, точка \(E\) лежит на \(AN\), поэтому \[ E=t\left(\mathbf b+\frac12\mathbf d\right). \] Сравнивая коэффициенты при \(\mathbf b\) и \(\mathbf d\), получаем: \[ 1-\lambda=t,\qquad \lambda=\frac t2. \] Отсюда \[ 1-\lambda=2\lambda,\qquad \lambda=\frac13. \] Значит, \[ BE=\frac13BD. \]

Теперь рассмотрим \(F=MC\cap BD\). Так как \(F\in MC\), его можно записать: \[ F=\frac12\mathbf d+u\left(\mathbf b+\frac12\mathbf d\right) =u\mathbf b+\frac{1+u}{2}\mathbf d. \] Сравниваем с \[ F=(1-\lambda)\mathbf b+\lambda\mathbf d: \] \[ 1-\lambda=u,\qquad \lambda=\frac{1+u}{2}. \] Подставляя \(u=1-\lambda\), получаем: \[ \lambda=\frac{2-\lambda}{2}, \qquad \lambda=\frac23. \] Следовательно, \[ BF=\frac23BD,\qquad FD=\frac13BD. \]

Точка \(E\) находится на расстоянии \(\frac13BD\) от \(B\), а точка \(F\) — на расстоянии \(\frac23BD\). Поэтому \[ EF=\frac23BD-\frac13BD=\frac13BD. \]

Итак, \[ \boxed{BE=EF=FD}. \]