Поставь к каждому уравнению его корни

1. \(4-6x=2x+12\) — корень \(x=-1\).

2. \((x+4)(5x-5)=0\) — корни \(x=-4\) и \(x=1\).

3. \(x^2-16=0\) — корни \(x=-4\) и \(x=4\).

4. \(3(x+4)=24\) — корень \(x=4\).

5. \(|2x-3|=5\) — корни \(x=-1\) и \(x=4\).

6. \((x+2)^2=(x-4)^2\) — корень \(x=1\).

7. \(\dfrac{x}{3}-\dfrac{x+1}{2}=\dfrac16\) — корень \(x=-4\).

Выберите первый вариант:

\[ y=2x^3,\qquad f=3x^2+3x-2. \]

Потому что исходное уравнение можно записать так:

\[ 2x^3=3x^2+3x-2. \]

Точки пересечения графиков на отрезке \([-1;1]\) дают корни:

\[ \boxed{x=-1\quad \text{и}\quad x=\frac12}. \]

Правильный — третий график сверху (верхний график на втором скриншоте).

Для функции \(y=2x^3\):

\[ y(0)=0,\qquad y(1)=2,\qquad y(-1)=-2. \]

Значит, график должен быть возрастающим, проходить через начало координат и точки \((1;2)\), \((-1;-2)\).

Правильный — верхний график на втором скриншоте (это третий вариант сверху).

Для проверки у функции

\[ y=3x^2+3x-2 \]

парабола направлена вверх и проходит через точки:

\[ (-2;4),\quad (-1;-2),\quad (0;-2),\quad (1;4). \]

Её вершина находится в точке

\[ \left(-\frac12;\,-\frac{11}{4}\right). \]

Именно эти точки отмечены на третьем графике.

Представим уравнение как пересечение графиков:

\[ y=2x^3,\qquad y=3x^2+3x-2. \]

На отрезке \([-1;1]\) графики пересекаются при

\[ x=-1 \quad \text{и} \quad x=\frac12=0{,}5. \]

Проверка:

\[ 2(-1)^3-3(-1)^2-3(-1)+2=0, \]

\[ 2(0{,}5)^3-3(0{,}5)^2-3(0{,}5)+2=0. \]

Ответ в порядке возрастания:

\[ \boxed{-1;\ 0{,}5} \]

Группируем первые два и последние два слагаемых:

\[ x^3-4x^2-16x+64 =(x^3-4x^2)+(-16x+64) \]

Выносим общий множитель из каждой группы:

\[ \boxed{x^2(x-4)-16(x-4)} \]

Если требуется полное разложение, продолжаем:

\[ x^2(x-4)-16(x-4) =(x-4)(x^2-16) =(x-4)^2(x+4). \]

Для этого шага введи:

\[ \boxed{x^2(x-4)-16(x-4)} \]

\[ (x-4)(x^2-16)=0 \]

Разложим разность квадратов:

\[ (x-4)(x-4)(x+4)=0. \]

Отсюда корни:

\[ x=-4 \quad \text{или} \quad x=4. \]

В порядке возрастания:

\[ \boxed{x_1=-4},\qquad \boxed{x_2=4}. \]

Решим уравнение:

\[ \frac{x^2-x-6}{x+1}+\frac{x+1}{x^2-x-6}=2. \]

1. ОДЗ

Знаменатели не должны равняться нулю:

\[ x+1\ne0 \Rightarrow x\ne-1, \]

\[ x^2-x-6\ne0. \]

Разложим на множители:

\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2), \]

поэтому

\[ x\ne3,\qquad x\ne-2. \]

На первом шаге отметь:

\[ \boxed{x\ne-1,\quad x\ne3,\quad x\ne-2}. \]

2. Решение

Обозначим

\[ A=x^2-x-6. \]

Тогда:

\[ \frac{A}{x+1}+\frac{x+1}{A}=2. \]

Умножаем на \(A(x+1)\):

\[ A^2+(x+1)^2=2A(x+1). \]

Переносим всё в одну сторону:

\[ \bigl(A-(x+1)\bigr)^2=0. \]

Значит,

\[ x^2-x-6=x+1. \]

\[ x^2-2x-7=0. \]

Находим корни:

\[ x=\frac{2\pm\sqrt{4+28}}2 =\frac{2\pm\sqrt{32}}2 =1\pm2\sqrt2. \]

Оба корня входят в ОДЗ.

\[ \boxed{x_1=1-2\sqrt2,\qquad x_2=1+2\sqrt2} \]

После замены

\[ t=\frac{x^2-x-6}{x+1} \]

вторая дробь равна \(\frac1t\). Поэтому получится:

\[ \boxed{t+\frac1t=2} \]

В поле введи: t+1/t.

Далее:

\[ t+\frac1t=2 \Rightarrow t^2-2t+1=0 \Rightarrow (t-1)^2=0, \]

\[ t=1. \]

Возвращаемся к \(x\):

\[ \frac{x^2-x-6}{x+1}=1, \]

\[ x^2-2x-7=0. \]

Ответ:

\[ \boxed{x_1=1-2\sqrt2,\qquad x_2=1+2\sqrt2}. \]

Решим:

\[ t+\frac1t=2,\qquad t\ne0. \]

Умножим на \(t\):

\[ t^2+1=2t, \]

\[ t^2-2t+1=0, \]

\[ (t-1)^2=0. \]

Значит,

\[ \boxed{t=1}. \]

В поле введи: 1.

При \(t=1\) выполняем обратную замену:

\[ \frac{x^2-x-6}{x+1}=1. \]

\[ x^2-x-6=x+1, \]

\[ x^2-2x-7=0. \]

Находим корни:

\[ x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{32}}{2}=1\pm2\sqrt2. \]

Введи через запятую:

\[ \boxed{1-2\sqrt2,\ 1+2\sqrt2} \]

Пусть скорость первого велосипедиста — \(v_1\) км/ч, тогда скорость второго:

\[ v_2=v_1-1. \]

Время в пути:

\[ t_1=\frac{30}{v_1},\qquad t_2=\frac{30}{v_1-1}. \]

Второй ехал на \(1\) час дольше:

\[ \frac{30}{v_1-1}-\frac{30}{v_1}=1. \]

\[ \frac{30}{v_1(v_1-1)}=1, \]

\[ v_1(v_1-1)=30, \]

\[ v_1^2-v_1-30=0. \]

\[ (v_1-6)(v_1+5)=0. \]

Скорость не может быть отрицательной, поэтому:

\[ \boxed{v_1=6\text{ км/ч}},\qquad \boxed{v_2=5\text{ км/ч}}. \]

Обозначим:

\[ t=x^2-x. \]

Тогда уравнение:

\[ (t-3)(t-2)=12. \]

Раскроем скобки:

\[ t^2-5t+6=12, \]

\[ t^2-5t-6=0, \]

\[ (t-6)(t+1)=0. \]

Получаем:

1. \(t=6\):

\[ x^2-x=6 \Rightarrow x^2-x-6=0, \]

\[ (x-3)(x+2)=0 \Rightarrow x=-2,\;3. \]

2. \(t=-1\):

\[ x^2-x=-1 \Rightarrow x^2-x+1=0. \]

Действительных корней нет.

Ответ в порядке возрастания:

\[ \boxed{x_1=-2,\qquad x_2=3}. \]