Реши по теоремам для 1 четверти 8 класса

Краткие ответы:

1. \(\angle AOD=84^\circ\).
2. Углы прямоугольной трапеции: \(90^\circ,\ 90^\circ,\ 80^\circ,\ 100^\circ\).
3. Стороны параллелограмма: \(9\text{ см}\) и \(6\text{ см}\).
4. Углы трапеции: \(48^\circ,\ 48^\circ,\ 132^\circ,\ 132^\circ\).

1. Угол \(AOD\)

В равнобедренной трапеции \(ABCD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\).

Так как \(O\) лежит на диагоналях:

\[ \angle ABO=\angle ABD=42^\circ. \]

В равнобедренной трапеции диагонали образуют с основанием равные углы, поэтому

\[ \angle OAB=\angle CAB=42^\circ. \]

В треугольнике \(AOB\):

\[ \angle AOB=180^\circ-42^\circ-42^\circ=96^\circ. \]

Луч \(OB\) является продолжением луча \(OD\), поэтому углы \(AOB\) и \(AOD\) — смежные:

\[ \angle AOD=180^\circ-96^\circ=\boxed{84^\circ}. \]

2. Углы прямоугольной трапеции

Два угла прямоугольной трапеции равны \(90^\circ\). Пусть два других угла равны \(x^\circ\) и \((x+20)^\circ\).

Они являются односторонними при параллельных основаниях:

\[ x+(x+20)=180, \]

\[ 2x=160,\qquad x=80. \]

Второй угол:

\[ 80^\circ+20^\circ=100^\circ. \]

Ответ:

\[ \boxed{90^\circ,\ 90^\circ,\ 80^\circ,\ 100^\circ}. \]

Проверка:

\[ 90+90+80+100=360^\circ. \]

3. Стороны параллелограмма

Пусть стороны относятся как \(3:2\):

\[ a=3x,\qquad b=2x. \]

Периметр параллелограмма:

\[ 2(a+b)=30. \]

Подставим:

\[ 2(3x+2x)=30, \]

\[ 10x=30,\qquad x=3. \]

Тогда:

\[ a=3\cdot3=9\text{ см},\qquad b=2\cdot3=6\text{ см}. \]

Проверка:

\[ 2(9+6)=30\text{ см}. \]

Ответ: \(\boxed{9\text{ см и }6\text{ см}}\).

4. Углы равнобедренной трапеции

Углы при одном основании равны. Их сумма равна \(96^\circ\), значит каждый из них:

\[ 96^\circ:2=48^\circ. \]

Соседние углы трапеции supplementary:

\[ 180^\circ-48^\circ=132^\circ. \]

Ответ:

\[ \boxed{48^\circ,\ 48^\circ,\ 132^\circ,\ 132^\circ}. \]