Реши задание на изображении

Да, я неверно прочитал числитель второй дроби: там \(y+2\), а не \(y+1\). Исправляю:

\[ \frac{5y-3}{6y}+\frac{y+2}{4y} =\frac{2(5y-3)+3(y+2)}{12y} =\frac{10y-6+3y+6}{12y} =\frac{13y}{12y} =\boxed{\frac{13}{12}},\qquad y\ne0. \]

Конечно. Разберём б) подробно:

\[ \frac{2a-3b}{a^2b}-\frac{4a-5b}{ab^2}. \]

1. Находим общий знаменатель

Знаменатели:

\[ a^2b \quad \text{и} \quad ab^2. \]

Общий знаменатель должен содержать \(a^2\) и \(b^2\), поэтому:

\[ \text{ОЗ}=a^2b^2. \]

2. Дополняем первую дробь

В знаменателе первой дроби не хватает множителя \(b\):

\[ \frac{2a-3b}{a^2b} = \frac{b(2a-3b)}{a^2b^2}. \]

3. Дополняем вторую дробь

Во второй дроби не хватает множителя \(a\):

\[ \frac{4a-5b}{ab^2} = \frac{a(4a-5b)}{a^2b^2}. \]

Не забываем, что между дробями стоит знак «минус»:

\[ \frac{b(2a-3b)}{a^2b^2} - \frac{a(4a-5b)}{a^2b^2}. \]

Объединяем в одну дробь:

\[ \frac{b(2a-3b)-a(4a-5b)}{a^2b^2}. \]

4. Раскрываем скобки

\[ b(2a-3b)=2ab-3b^2, \]

\[ a(4a-5b)=4a^2-5ab. \]

Получаем:

\[ \frac{2ab-3b^2-(4a^2-5ab)}{a^2b^2}. \]

Перед второй скобкой стоит минус, поэтому знаки внутри неё меняются:

\[ \frac{2ab-3b^2-4a^2+5ab}{a^2b^2}. \]

5. Приводим подобные слагаемые

\[ 2ab+5ab=7ab. \]

Итог:

\[ \boxed{\frac{-4a^2+7ab-3b^2}{a^2b^2}}. \]

ОДЗ:

\[ a\ne0,\qquad b\ne0. \]

Это тема «Сложение и вычитание алгебраических дробей» — то есть дробей, в которых вместо чисел есть буквы.

Действуют почти те же правила, что и с обычными дробями:

1. Найти общий знаменатель.
2. Дополнить каждую дробь нужными множителями.
3. Сложить или вычесть числители, сохранив общий знаменатель.
4. Упростить результат.

Например, в пункте б) общий знаменатель для \(a^2b\) и \(ab^2\) — \(a^2b^2\). Важно: если перед скобками стоит минус, при раскрытии скобок знаки внутри меняются.

Да, такой способ может подойти, но по записи, кажется, в знаменателе потерялся множитель \(2\).

Если ты домножаешь первую дробь на \(4y\), а вторую — на \(6y\), общий знаменатель будет \(24y^2\):

\[ \frac{(5y-3)\cdot4y+(y+2)\cdot6y}{24y^2} = \frac{20y^2-12y+6y^2+12y}{24y^2}. \]

Слагаемые \(-12y\) и \(+12y\) сокращаются:

\[ \frac{26y^2}{24y^2}=\frac{13}{12},\qquad y\ne0. \]

Так что ответ получится правильный, если в знаменателе написать \(24y^2\). Но проще взять общий знаменатель \(12y\).

Да, итог у тебя получится правильный, но важно объяснить действие точно.

После приведения к знаменателю \(24y^2\) имеем:

\[ \frac{20y^2-12y+6y^2+12y}{24y^2}. \]

Здесь \(-12y\) и \(+12y\) не сокращаются как множители, а складываются:

\[ -12y+12y=0. \]

Поэтому остаётся:

\[ \frac{20y^2+6y^2}{24y^2}. \]

Складываем подобные слагаемые:

\[ 20y^2+6y^2=26y^2. \]

Получаем:

\[ \frac{26y^2}{24y^2}. \]

Теперь можно сократить \(y^2\) и дробь \(26/24\):

\[ \frac{26y^2}{24y^2} = \frac{26}{24} = \frac{13}{12},\qquad y\ne0. \]

Если хочется разложить числитель на множители:

\[ 20y^2+6y^2=2y^2(10+3)=26y^2. \]

То есть твой способ верный, только правильнее сказать: \(-12y\) и \(+12y\) взаимно уничтожаются при сложении, а не сокращаются.

Разберём пункт в) подробно:

\[ \frac{3}{ax+ay}+\frac{2}{by-bx}. \]

1. Разложим знаменатели на множители

В первом знаменателе вынесем \(a\):

\[ ax+ay=a(x+y). \]

Во втором знаменателе вынесем \(b\):

\[ by-bx=b(y-x). \]

Получаем:

\[ \frac{3}{a(x+y)}+\frac{2}{b(y-x)}. \]

2. Найдём общий знаменатель

Общий знаменатель:

\[ ab(x+y)(y-x). \]

3. Домножим дроби

Первой дроби не хватает множителя \(b(y-x)\):

\[ \frac{3}{a(x+y)} = \frac{3b(y-x)}{ab(x+y)(y-x)}. \]

Второй дроби не хватает множителя \(a(x+y)\):

\[ \frac{2}{b(y-x)} = \frac{2a(x+y)}{ab(x+y)(y-x)}. \]

4. Сложим дроби

\[ \frac{3b(y-x)+2a(x+y)} {ab(x+y)(y-x)}. \]

Это и есть ответ:

\[ \boxed{\frac{3b(y-x)+2a(x+y)} {ab(x+y)(y-x)}}. \]

Можно раскрыть скобки в числителе:

\[ 3b(y-x)+2a(x+y) =3by-3bx+2ax+2ay. \]

Тогда:

\[ \boxed{\frac{2ax+2ay-3bx+3by} {ab(x+y)(y-x)}}. \]

Дальше сократить ничего нельзя, так как общих множителей у числителя и знаменателя нет.

А, понял: ты имеешь в виду задание 3, пункт в). Мой предыдущий ответ был не к тому примеру. Решаем:

\[ \frac{4a^2-1}{a^2-9}:\frac{6a+3}{a+3}. \]

Деление на дробь заменяем умножением на обратную:

\[ \frac{4a^2-1}{a^2-9}\cdot\frac{a+3}{6a+3}. \]

Разложим выражения на множители:

\[ 4a^2-1=(2a-1)(2a+1),\quad a^2-9=(a-3)(a+3),\quad 6a+3=3(2a+1). \]

Тогда

\[ \frac{(2a-1)(2a+1)}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a+3}{3(2a+1)} = \boxed{\frac{2a-1}{3(a-3)}}. \]

Сокращаем общие множители \(a+3\) и \(2a+1\). Ограничения: \(a\ne -3,\ 3,\ -\frac12\).

Пришли, пожалуйста, фото или перепиши условие задания 2б — в сообщениях его выражение не видно.

Решим задание 2б:

\[ \frac{1}{2a-b}-\frac{1}{2a+b}. \]

Общий знаменатель:

\[ (2a-b)(2a+b). \]

Домножаем дроби:

\[ \frac{2a+b}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{2a-b}{(2a-b)(2a+b)}. \]

Вычитаем числители:

\[ \frac{(2a+b)-(2a-b)} {(2a-b)(2a+b)} = \frac{2a+b-2a+b} {(2a-b)(2a+b)}. \]

\[ \boxed{\frac{2b}{(2a-b)(2a+b)}}. \]

Можно записать знаменатель по формуле разности квадратов:

\[ (2a-b)(2a+b)=4a^2-b^2. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{2b}{4a^2-b^2}}. \]

ОДЗ:

\[ 2a-b\ne0,\qquad 2a+b\ne0. \]

Понимаю. Я, похоже, неверно угадал условие пункта 2б — самого выражения я не вижу, поэтому мог объяснить не тот пример. Пришли фото или перепиши 2б, и я разберу его простыми шагами.

Чтобы получить одинаковые знаменатели, каждую дробь умножаем на недостающий множитель сверху и снизу.

В первой дроби не хватает \(2a+b\), поэтому:

\[ \frac{1}{2a-b} = \frac{1\cdot(2a+b)}{(2a-b)(2a+b)}. \]

Во второй дроби не хватает \(2a-b\), поэтому:

\[ \frac{1}{2a+b} = \frac{1\cdot(2a-b)}{(2a+b)(2a-b)}. \]

Так как мы домножили каждую дробь на выражение, равное \(1\), их значения не изменились. Теперь знаменатели одинаковые — можно вычитать числители:

\[ \frac{2a+b}{(2a-b)(2a+b)} - \frac{2a-b}{(2a-b)(2a+b)}. \]

Главное: домножаем и числитель, и знаменатель на один и тот же множитель.

На фото обведены пункты 2б, 3а и 3в. 2б и 3в мы уже разобрали, поэтому решу оставшийся — 3а:

\[ \frac{42x^5}{y^4}\cdot\frac{y^2}{14x^3}. \]

Перемножим числители и знаменатели:

\[ \frac{42x^5y^2}{14x^3y^4}. \]

Сократим числа и степени одинаковых букв:

\[ \frac{42}{14}=3,\qquad \frac{x^5}{x^3}=x^2,\qquad \frac{y^2}{y^4}=\frac1{y^2}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\frac{3x^2}{y^2}},\qquad x\ne0,\ y\ne0. \]

Пришли фото или перепиши условие № 4 — в чате его сейчас не видно.

№ 4. Упростим выражение

\[ \frac{3}{x-3}-\frac{x+15}{x^2-9}-\frac{2}{x}. \]

ОДЗ:

\[ x\ne 3,\qquad x\ne -3,\qquad x\ne0. \]

Разложим разность квадратов:

\[ x^2-9=(x-3)(x+3). \]

Общий знаменатель:

\[ x(x-3)(x+3). \]

Приведём дроби к общему знаменателю:

\[ \frac{3x(x+3)-x(x+15)-2(x^2-9)} {x(x-3)(x+3)}. \]

Раскроем скобки:

\[ \frac{3x^2+9x-x^2-15x-2x^2+18} {x(x-3)(x+3)}. \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ 3x^2-x^2-2x^2=0,\qquad 9x-15x=-6x. \]

Получаем:

\[ \frac{-6x+18}{x(x-3)(x+3)} = \frac{-6(x-3)}{x(x-3)(x+3)}. \]

Сокращаем \(x-3\):

\[ \boxed{-\frac{6}{x(x+3)}}. \]

Ограничения сохраняются:

\[ \boxed{x\ne -3,\ 0,\ 3}. \]