Реши задание на изображении
Краткий ответ
а) \(y=\dfrac13x^2-4x+4\)
\[ y=\frac13(x-6)^2-8 \]
- Вершина: \(A(6;-8)\)
- Ось симметрии: \(x=6\)
- Ветви направлены вверх
- Область определения: \(\mathbb R\)
- Область значений: \([-8;+\infty)\)
- Нули функции:
\[ x=6\pm2\sqrt6 \]
- Убывает на \((-\infty;6]\), возрастает на \([6;+\infty)\)
- \(y<0\) при \(6-2\sqrt6<x<6+2\sqrt6\)
Точки для построения:
\[ (6;-8),\quad (0;4),\quad (12;4),\quad (3;-5),\quad (9;-5). \]
б) \(y=-\dfrac14x^2+x-1\)
\[ y=-\frac14(x-2)^2 \]
- Вершина: \(A(2;0)\)
- Ось симметрии: \(x=2\)
- Ветви направлены вниз
- Область определения: \(\mathbb R\)
- Область значений: \((-\infty;0]\)
- Нуль функции: \(x=2\) — двукратный корень
- Возрастает на \((-\infty;2]\), убывает на \([2;+\infty)\)
- \(y<0\) при \(x\ne2\)
Точки для построения:
\[ (2;0),\quad (0;-1),\quad (4;-1),\quad (1;-\tfrac14),\quad (3;-\tfrac14). \]
в) \(y=x^2+3x\)
\[ y=\left(x+\frac32\right)^2-\frac94 \]
- Вершина: \(A\left(-\dfrac32;-\dfrac94\right)\)
- Ось симметрии: \(x=-\dfrac32\)
- Ветви направлены вверх
- Область определения: \(\mathbb R\)
- Область значений: \(\left[-\dfrac94;+\infty\right)\)
- Нули функции:
\[ x(x+3)=0,\qquad x_1=-3,\quad x_2=0 \]
- Убывает на \(\left(-\infty;-\dfrac32\right]\), возрастает на \(\left[-\dfrac32;+\infty\right)\)
- \(y<0\) на \((-3;0)\)
- \(y>0\) на \((-\infty;-3)\cup(0;+\infty)\)
Точки для построения:
\[ \left(-\frac32;-\frac94\right),\quad (-3;0),\quad (0;0),\quad (-2;-2),\quad (-1;-2). \]
Как строить такие графики
Квадратичную функцию удобно привести к виду
\[ y=a(x-h)^2+k. \]
Тогда вершина параболы имеет координаты \((h;k)\):
- если \(a>0\), ветви направлены вверх;
- если \(a<0\), ветви направлены вниз;
- ось симметрии: \(x=h\).
Например, для пункта а):
\[ y=\frac13(x-6)^2-8, \]
поэтому вершина \((6;-8)\), ось \(x=6\), а ветви направлены вверх.
Проверка: при \(x=6\)
\[ y=\frac13\cdot36-24+4=12-24+4=-8, \]
то есть вершина найдена верно.
