Реши

Краткие ответы

154.
а) \(1\);
б) \(a\);
в) \(x^2+1\);
г) \(-m\).

155.
а) \(2x(x+y)\);
б) \(\dfrac{x-2y}{2xy}\).

156.
а) \(-\dfrac{3}{x-1}\).

---

154

а)

\[ \left(\frac1y+\frac2{x-y}\right) \left(x-\frac{x^2+y^2}{x+y}\right) \]

Приведём скобки к общему знаменателю:

\[ \frac1y+\frac2{x-y} =\frac{x-y+2y}{y(x-y)} =\frac{x+y}{y(x-y)}. \]

\[ x-\frac{x^2+y^2}{x+y} =\frac{x(x+y)-x^2-y^2}{x+y} =\frac{y(x-y)}{x+y}. \]

Тогда

\[ \frac{x+y}{y(x-y)}\cdot \frac{y(x-y)}{x+y}=1. \]

Ответ: \[ \boxed{1} \]

---

б)

\[ \left(a+b-\frac{2ab}{a+b}\right): \left(\frac{a-b}{a+b}+\frac ba\right) \]

Первая скобка:

\[ a+b-\frac{2ab}{a+b} =\frac{(a+b)^2-2ab}{a+b} =\frac{a^2+b^2}{a+b}. \]

Вторая скобка:

\[ \frac{a-b}{a+b}+\frac ba =\frac{a(a-b)+b(a+b)}{a(a+b)} =\frac{a^2+b^2}{a(a+b)}. \]

Деление заменяем умножением на обратную дробь:

\[ \frac{a^2+b^2}{a+b}\cdot \frac{a(a+b)}{a^2+b^2}=a. \]

Ответ: \[ \boxed{a} \]

---

в)

\[ (x^2-1)\left(\frac1{x-1}-\frac1{x+1}+1\right) \]

\[ \frac1{x-1}-\frac1{x+1} =\frac{x+1-(x-1)}{(x-1)(x+1)} =\frac2{x^2-1}. \]

Поэтому

\[ (x^2-1)\left(\frac2{x^2-1}+1\right) =2+x^2-1=x^2+1. \]

Ответ: \[ \boxed{x^2+1} \]

---

г)

\[ \left(m+1-\frac1{1-m}\right): \left(m-\frac{m^2}{m-1}\right) \]

Так как \(1-m=-(m-1)\), то

\[ m+1-\frac1{1-m} =m+1+\frac1{m-1} =\frac{m^2}{m-1}. \]

Вторая скобка:

\[ m-\frac{m^2}{m-1} =\frac{m(m-1)-m^2}{m-1} =-\frac m{m-1}. \]

Тогда

\[ \frac{m^2}{m-1}:\left(-\frac m{m-1}\right) =\frac{m^2}{m-1}\cdot\frac{m-1}{-m} =-m. \]

Ответ: \[ \boxed{-m} \]

---

155

а)

\[ \frac{4xy}{y^2-x^2}: \left(\frac1{y^2-x^2}+ \frac1{x^2+2xy+y^2}\right) \]

Разложим:

\[ y^2-x^2=(y-x)(x+y), \qquad x^2+2xy+y^2=(x+y)^2. \]

Сумма в скобках:

\[ \frac1{(y-x)(x+y)}+\frac1{(x+y)^2} = \frac{x+y+y-x}{(y-x)(x+y)^2} = \frac{2y}{(y-x)(x+y)^2}. \]

Теперь делим:

\[ \frac{4xy}{(y-x)(x+y)} \cdot \frac{(y-x)(x+y)^2}{2y} =2x(x+y). \]

Ответ: \[ \boxed{2x(x+y)} \]

---

б)

\[ \left( \frac{x-2y}{x^2+2xy} -\frac1{x^2-4y^2}: \frac{x+2y}{(2y-x)^2} \right) \cdot\frac{(x+2y)^2}{4y^2} \]

Используем:

\[ x^2+2xy=x(x+2y), \]

\[ x^2-4y^2=(x-2y)(x+2y), \]

\[ (2y-x)^2=(x-2y)^2. \]

Сначала выполним деление:

\[ \frac1{x^2-4y^2}: \frac{x+2y}{(2y-x)^2} = \frac1{(x-2y)(x+2y)} \cdot \frac{(x-2y)^2}{x+2y} = \frac{x-2y}{(x+2y)^2}. \]

Тогда выражение в скобках:

\[ \frac{x-2y}{x(x+2y)} -\frac{x-2y}{(x+2y)^2} = \frac{2y(x-2y)}{x(x+2y)^2}. \]

Умножаем:

\[ \frac{2y(x-2y)}{x(x+2y)^2} \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2} = \frac{x-2y}{2xy}. \]

Ответ: \[ \boxed{\frac{x-2y}{2xy}} \]

---

156

а)

\[ \frac{x+2}{x^2-2x+1}\cdot \frac{3x-3}{x^2-4} -\frac3{x-2} \]

Разложим на множители:

\[ x^2-2x+1=(x-1)^2, \qquad 3x-3=3(x-1), \qquad x^2-4=(x-2)(x+2). \]

Тогда

\[ \frac{x+2}{(x-1)^2}\cdot \frac{3(x-1)}{(x-2)(x+2)} = \frac3{(x-1)(x-2)}. \]

Вычитаем:

\[ \frac3{(x-1)(x-2)}-\frac3{x-2} = \frac{3-3(x-1)}{(x-1)(x-2)}. \]

\[ \frac{3-3x+3}{(x-1)(x-2)} = \frac{-3(x-2)}{(x-1)(x-2)} = -\frac3{x-1}. \]

Ответ: \[ \boxed{-\frac3{x-1}} \]

Ограничения исходного выражения: \(x\ne1,\;2,\;-2\). При сокращении эти ограничения сохраняются.