Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. \(y=x^2+4\) — парабола \(y=x^2\), сдвинутая вверх на \(4\).
   \(y=x^2-4\) — сдвинута вниз на \(4\).

2. \(y=2x^2+4\) — растяжение параболы \(y=x^2\) в \(2\) раза и сдвиг вверх на \(4\).
   \(y=\frac12x^2+4\) — сжатие в \(2\) раза и сдвиг вверх на \(4\).

3. По рисунку:

   • а) \(\boxed{y=\frac12x^2+4}\);
   • б) \(\boxed{y=-2x^2+2}\).

4. \(y=\frac6x+5\) — гипербола \(y=\frac6x\), сдвинутая вверх на \(5\).

---

№ 1

А) \(y=x^2+4\)

График \(y=x^2\) сдвигаем вверх на \(4\) единицы.

Точки:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&8&5&4&5&8 \end{array} \]

Вершина: \((0;4)\).
Ось симметрии: \(Oy\).
Парабола направлена вверх.

Б) \(y=x^2-4\)

График \(y=x^2\) сдвигаем вниз на \(4\) единицы.

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&0&-3&-4&-3&0 \end{array} \]

Вершина: \((0;-4)\).
Ось симметрии: \(Oy\).
Парабола направлена вверх.

---

№ 2

А) \(y=2x^2+4\)

Сначала ординаты графика \(y=x^2\) увеличиваем в \(2\) раза, затем сдвигаем график вверх на \(4\).

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&12&6&4&6&12 \end{array} \]

Вершина: \((0;4)\).
Парабола уже, чем \(y=x^2+4\).

Б) \(y=\frac12x^2+4\)

Ординаты графика \(y=x^2\) уменьшаем в \(2\) раза, затем сдвигаем вверх на \(4\).

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-2&-1&0&1&2\\ \hline y&6&4{,}5&4&4{,}5&6 \end{array} \]

Вершина: \((0;4)\).
Парабола шире, чем \(y=x^2+4\).

---

№ 3

Для функции

\[ y=ax^2+n \]

число \(n\) показывает координату вершины по оси \(Oy\), а коэффициент \(a\) определяет направление и ширину параболы.

А)

Вершина графика: \((0;4)\), значит \(n=4\).
Парабола проходит, например, через точку \((2;6)\):

\[ 6=4a+4, \]

\[ 4a=2,\qquad a=\frac12. \]

Ответ:

\[ \boxed{y=\frac12x^2+4}. \]

Б)

Вершина графика: \((0;2)\), значит \(n=2\).
График проходит через точку \((1;0)\):

\[ 0=a\cdot1^2+2, \]

\[ a=-2. \]

Ответ:

\[ \boxed{y=-2x^2+2}. \]

Минус показывает, что парабола направлена вниз.

---

№ 4

\[ y=\frac6x+5 \]

Это график функции

\[ y=\frac6x, \]

сдвинутый вверх на \(5\) единиц.

Таблица точек:

\[ \begin{array}{c|cccccccc} x&-6&-3&-2&-1&1&2&3&6\\ \hline y&4&3&2&-1&11&8&7&6 \end{array} \]

Асимптоты:

\[ x=0,\qquad y=5. \]

Область определения:

\[ x\ne0. \]

График не пересекает ось \(Oy\) и прямую \(y=5\). Нанеси точки из таблицы и проведи две плавные ветви, приближающиеся к асимптотам.

Проверка: при \(x=1\)

\[ y=\frac61+5=11, \]

а при \(x=-1\)

\[ y=\frac6{-1}+5=-1. \]