Реши задание на изображении

Пришли, пожалуйста, изображение задания 1.29 или перепиши его условие — в чате оно не отображается.

Это продолжение задания 1.29. На фрагменте видны значения параметров и ответ из учебника, но сама формула задания обрезана. Пришли, пожалуйста, часть страницы с формулой.

Это продолжение: ты прислал фрагмент с формулами, которого не хватало. Решим в общем виде.

Обозначим \[ q=\mathbf m\cdot\mathbf n=kl\cos\varphi. \] Тогда \[ \begin{aligned} A=\mathbf a\cdot\mathbf a &=\alpha^2k^2+\beta^2l^2+2\alpha\beta q,\\ B=\mathbf b\cdot\mathbf b &=\gamma^2k^2+\delta^2l^2+2\gamma\delta q,\\ C=\mathbf a\cdot\mathbf b &=\alpha\gamma k^2+\beta\delta l^2 +(\alpha\delta+\beta\gamma)q. \end{aligned} \]

а) \[ (\lambda\mathbf a+\mu\mathbf b)\cdot(\nu\mathbf a+\tau\mathbf b) =\lambda\nu A+(\lambda\tau+\mu\nu)C+\mu\tau B. \]

б) Скалярная проекция на \(\mathbf b\): \[ \operatorname{пр}_{\mathbf b}(\nu\mathbf a+\tau\mathbf b) =\frac{\nu C+\tau B}{\sqrt B}. \]

в) \[ \cos(\mathbf a,\tau\mathbf b) =\frac{\tau C}{|\tau|\sqrt{AB}},\qquad \tau\ne0. \] Если \(\tau>0\), это упрощается до \(\dfrac{C}{\sqrt{AB}}\).

Дано: \[ \alpha=5,\ \beta=3,\ \gamma=-4,\ \delta=-2,\quad k=6,\ l=3,\ \varphi=\frac{5\pi}{3}, \] \[ \lambda=-2,\ \mu=-\frac12,\ \nu=3,\ \tau=2. \] Так как \(\cos\frac{5\pi}{3}=\frac12\), то \[ \mathbf m\cdot\mathbf n=kl\cos\varphi=6\cdot3\cdot\frac12=9. \]

Сначала найдём скалярные произведения: \[ \begin{aligned} \mathbf a\cdot\mathbf a &=5^2\cdot6^2+3^2\cdot3^2+2\cdot5\cdot3\cdot9=1251,\\ \mathbf b\cdot\mathbf b &=(-4)^2\cdot6^2+(-2)^2\cdot3^2 +2\cdot(-4)\cdot(-2)\cdot9=756,\\ \mathbf a\cdot\mathbf b &=5\cdot(-4)\cdot6^2+3\cdot(-2)\cdot3^2\\ &\quad +(5\cdot(-2)+3\cdot(-4))\cdot9=-972. \end{aligned} \]

а) \[ \begin{aligned} (\lambda\mathbf a+\mu\mathbf b)\cdot(\nu\mathbf a+\tau\mathbf b) &=\lambda\nu(\mathbf a\cdot\mathbf a) +(\lambda\tau+\mu\nu)(\mathbf a\cdot\mathbf b) +\mu\tau(\mathbf b\cdot\mathbf b)\\ &=-6\cdot1251-\frac{11}{2}\cdot(-972)-756\\ &=\boxed{-2916}. \end{aligned} \]

б) Скалярная проекция на \(\mathbf b\): \[ \operatorname{пр}_{\mathbf b}(3\mathbf a+2\mathbf b) =\frac{(3\mathbf a+2\mathbf b)\cdot\mathbf b}{|\mathbf b|} =\frac{3(-972)+2\cdot756}{\sqrt{756}} =\boxed{-\frac{78\sqrt{21}}7}. \]

в) Поскольку \(\tau=2>0\), угол между \(\mathbf a\) и \(2\mathbf b\) равен углу между \(\mathbf a\) и \(\mathbf b\): \[ \cos(\mathbf a,2\mathbf b) =\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{|\mathbf a||\mathbf b|} =\frac{-972}{\sqrt{1251\cdot756}} =\boxed{-\frac{54}{\sqrt{2919}}}. \]