Y=|tgx|/tgx график функции покстроить

Краткий ответ

\[ y=\frac{|\tg x|}{\tg x}= \begin{cases} 1,& \tg x>0,\\ -1,& \tg x<0. \end{cases} \]

График состоит из горизонтальных отрезков на уровнях \(y=1\) и \(y=-1\), причём концы отрезков не входят в график.

Построение

1. Функция не определена, если:

   • \(\tg x=0\), то есть \(x=\pi k\);
   • \(\tg x\) не существует, то есть \(x=\frac{\pi}{2}+\pi k\).

   Поэтому

   \[ D(y)=\mathbb R\setminus\left\{\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z\right\}. \]

2. Знак тангенса:

   \[ \tg x>0 \quad \text{на} \quad \left(\pi k;\frac{\pi}{2}+\pi k\right), \]

   поэтому там \(y=1\).

   \[ \tg x<0 \quad \text{на} \quad \left(\frac{\pi}{2}+\pi k;\pi+\pi k\right), \]

   поэтому там \(y=-1\).

На одном периоде:

\[ \begin{aligned} &y=1 &&\text{при }x\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right),\\ &y=-1&&\text{при }x\in\left(\frac{\pi}{2};\pi\right). \end{aligned} \]

Затем эта картина повторяется с периодом \(\pi\).

Проверка

\[ x=\frac{\pi}{4}:\quad y=\frac{|1|}{1}=1; \]

\[ x=\frac{3\pi}{4}:\quad y=\frac{|-1|}{-1}=-1. \]

Значит, область значений:

\[ E(y)=\{-1;1\}. \]