Как доказать что функция f(x)=x^4-7x^2
Какое свойство функции нужно доказать: чётность, промежутки возрастания и убывания, экстремумы или что-то другое?
Обсуждение
14 сообщенийЧётность
Функция чётная, если \(f(-x)=f(x)\) для всех \(x\) из области определения. Здесь область определения — \(\mathbb R\), она симметрична относительно нуля.
Проверим: \[ f(-x)=(-x)^4-7(-x)^2=x^4-7x^2=f(x). \]
Значит, \(f(x)=x^4-7x^2\) — чётная функция.
Как доказать, что функция чётная эф от икс равно икс-7 скобки закрываются скобки, открываются икс + 5 скобки закрываются + 2 икс?
Если функция задана так: \[ f(x)=(x-7)(x+5)+2x, \] то докажем её чётность.
Раскроем скобки: \[ f(x)=x^2+5x-7x-35+2x=x^2-35. \]
Теперь найдём \(f(-x)\): \[ f(-x)=(-x)^2-35=x^2-35=f(x). \]
Следовательно,
\[
\boxed{f(x)\text{ — чётная функция}.}
\]
Её график симметричен относительно оси \(Oy\).
Как доказать что функция ж от икс равна икс в 7 степени - икс в 3 степени что она нечётная
Функция
\[
g(x)=x^7-x^3
\]
нечётная, если выполняется условие:
\[
g(-x)=-g(x).
\]
Проверим: \[ g(-x)=(-x)^7-(-x)^3=-x^7+x^3. \]
Вынесем минус: \[ g(-x)=-(x^7-x^3)=-g(x). \]
Область определения — все действительные числа, она симметрична относительно нуля. Следовательно, \[ \boxed{g(x)=x^7-x^3\text{ — нечётная функция}.} \]
Как доказать? 1 делённое на икс в 9 степени + икс нечётное.
Пусть
\[
f(x)=\frac{1}{x^9+x}.
\]
Область определения: \(x\ne 0\). Она симметрична относительно нуля.
Проверим условие нечётности: \[ f(-x)=\frac{1}{(-x)^9+(-x)} =\frac{1}{-x^9-x} =-\frac{1}{x^9+x} =-f(x). \]
Значит, \[ \boxed{f(x)=\frac1{x^9+x}\text{ — нечётная функция}.} \]
Если имелось в виду \(f(x)=\frac1{x^9}+x\), то она также нечётная.
Как доказать, что функция ж от икс равна? Икс-5 в квадрате - икс + 5 в квадрате. Нечётно
Пусть
\[
g(x)=(x-5)^2-(x+5)^2.
\]
Проверим условие нечётности: \[ g(-x)=(-x-5)^2-(-x+5)^2. \]
Так как \[ (-x-5)^2=(x+5)^2,\qquad (-x+5)^2=(x-5)^2, \] получаем: \[ g(-x)=(x+5)^2-(x-5)^2=-g(x). \]
Следовательно, \[ \boxed{g(x)=(x-5)^2-(x+5)^2\text{ — нечётная функция}.} \]
Можно также упростить: \[ g(x)=x^2-10x+25-(x^2+10x+25)=-20x, \] а функция \(g(x)=-20x\) нечётная.
Я не понимаю почему у тебя - икс - 5 в квадрате равно икс + 5 в квадрате а - икс + 5 в квадрате равно икс - 5 в квадрате
Потому что при возведении в квадрат знак «минус» исчезает:
\[ (-a)^2=(-a)\cdot(-a)=a^2. \]
Первое выражение
\[ -x-5=-(x+5), \] поэтому \[ (-x-5)^2=\bigl(-(x+5)\bigr)^2=(x+5)^2. \]
Второе выражение
\[ -x+5=5-x=-(x-5), \] поэтому \[ (-x+5)^2=\bigl(-(x-5)\bigr)^2=(x-5)^2. \]
Например, при \(x=2\):
\[ (-2-5)^2=(-7)^2=49,\qquad (2+5)^2=7^2=49. \]
Главное — помнить: минус перед всей скобкой при возведении в квадрат не влияет на результат.
Как доказать что функция нечётно ж от икс равна икс + 7 в модуле - икс - 7 в модуле
Пусть
\[
g(x)=|x+7|-|x-7|.
\]
Чтобы доказать нечётность, проверим условие: \[ g(-x)=-g(x). \]
Найдём \(g(-x)\): \[ g(-x)=|-x+7|-|-x-7|. \]
Используем свойство модуля: \[ |-a|=|a|. \]
Тогда \[ |-x+7|=|-(x-7)|=|x-7|, \] \[ |-x-7|=|-(x+7)|=|x+7|. \]
Следовательно, \[ g(-x)=|x-7|-|x+7|. \]
Переставим слагаемые: \[ g(-x)=-\bigl(|x+7|-|x-7|\bigr)=-g(x). \]
Значит, \[ \boxed{g(x)=|x+7|-|x-7|\text{ — нечётная функция}.} \]
Область определения — все действительные числа, поэтому условие для нечётности выполнено.
