Реши и объясни

Краткий ответ

1.1. \(\text{НОД}(54,72)=18\)

1.2. \(\text{НОД}(60,84,108)=12\)

1.3. \(\text{НОД}(288,360,432)=72\)

2.1. \(\text{НОК}(16,28)=112\)

2.2. \(\text{НОК}(12,18,24)=72\)

2.3. \(\text{НОК}(28,42,56)=168\)

3.1. Наибольшее количество классов — 15.
В каждом классе будет 5 учебников по математике и 4 по русскому языку.

3.2. Вывески снова мигнут одновременно через 90 секунд.

Объяснение

НОД

Чтобы найти НОД, разложим числа на простые множители и возьмём только общие множители в наименьших степенях.

1.1.

\[ 54=2\cdot3^3,\qquad 72=2^3\cdot3^2 \]

\[ \text{НОД}=2\cdot3^2=18 \]

1.2.

\[ 60=2^2\cdot3\cdot5 \]

\[ 84=2^2\cdot3\cdot7 \]

\[ 108=2^2\cdot3^3 \]

Общие множители:

\[ \text{НОД}=2^2\cdot3=12 \]

1.3.

\[ 288=2^5\cdot3^2 \]

\[ 360=2^3\cdot3^2\cdot5 \]

\[ 432=2^4\cdot3^3 \]

\[ \text{НОД}=2^3\cdot3^2=8\cdot9=72 \]

НОК

Чтобы найти НОК, берём все простые множители в наибольших степенях.

2.1.

\[ 16=2^4,\qquad 28=2^2\cdot7 \]

\[ \text{НОК}=2^4\cdot7=16\cdot7=112 \]

2.2.

\[ 12=2^2\cdot3,\qquad 18=2\cdot3^2,\qquad 24=2^3\cdot3 \]

\[ \text{НОК}=2^3\cdot3^2=8\cdot9=72 \]

2.3.

\[ 28=2^2\cdot7,\qquad 42=2\cdot3\cdot7,\qquad 56=2^3\cdot7 \]

\[ \text{НОК}=2^3\cdot3\cdot7=168 \]

Задача 3.1

Количество классов должно быть общим делителем чисел \(75\) и \(60\). Чтобы классов было как можно больше, найдём НОД:

\[ 75=3\cdot25,\qquad 60=3\cdot20 \]

\[ \text{НОД}(75,60)=15 \]

Значит, можно организовать 15 классов.

В каждый класс попадёт:

\[ 75:15=5 \]

учебников по математике и

\[ 60:15=4 \]

учебника по русскому языку.

Проверка:

\[ 15\cdot5=75,\qquad 15\cdot4=60 \]

Задача 3.2

Вывески будут мигать одновременно через промежуток времени, который делится и на \(30\), и на \(45\). Поэтому находим НОК:

\[ 30=2\cdot3\cdot5,\qquad 45=3^2\cdot5 \]

\[ \text{НОК}(30,45)=2\cdot3^2\cdot5=90 \]

Проверка:

\[ 90:30=3,\qquad 90:45=2 \]

Значит, через 90 секунд обе вывески снова мигнут одновременно.