Реши 64
Краткий ответ
64.
а) \(\boxed{x\in(-6;0)}\)
б) \(\boxed{x\in(-\infty;0)\cup(7;+\infty)}\)
в) \(\boxed{x\in(-4;3)}\)
г) \(\boxed{x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)}\)
Решение методом интервалов
У всех квадратных трёхчленов старший коэффициент положительный, поэтому выражение:
- положительно вне корней;
- отрицательно между корнями.
Корни при строгих неравенствах не включаются.
а)
\[
x^2+6x=x(x+6)
\]
Корни: \(x=0\) и \(x=-6\). Нужно \(<0\), значит берём промежуток между корнями:
\[
\boxed{x\in(-6;0)}
\]
б)
\[
x^2-7x=x(x-7)
\]
Корни: \(x=0\) и \(x=7\). Нужно \(>0\), значит берём промежутки вне корней:
\[
\boxed{x\in(-\infty;0)\cup(7;+\infty)}
\]
в)
\[
x^2+x-12=(x+4)(x-3)
\]
Корни: \(x=-4\) и \(x=3\). Нужно \(<0\):
\[
\boxed{x\in(-4;3)}
\]
г)
\[
x^2-2x-3=(x+1)(x-3)
\]
Корни: \(x=-1\) и \(x=3\). Нужно \(>0\):
\[
\boxed{x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)}
\]
Проверка: во всех случаях знак выражения меняется при переходе через каждый простой корень, что подтверждает выбранные интервалы.
Обсуждение
2 сообщенияРешай хорошо прям понять по этопам
Разберём № 64 по этапам. Здесь используется метод интервалов.
Как решать такие неравенства
- Разложить квадратный трёхчлен на множители.
- Найти корни каждого множителя.
- Отметить корни на числовой прямой.
- Определить, на каких промежутках выражение положительно или отрицательно.
- Выбрать нужные промежутки:
- если нужно \(>0\), берём «плюсы»;
- если нужно \(<0\), берём «минусы».
- Так как знаки \(>\) и \(<\) строгие, корни в ответ не включаются.
У всех выражений старший коэффициент положительный, поэтому знак обычно такой:
\[ +\quad|\quad-\quad|\quad+ \]
То есть плюс вне корней, минус между корнями.
а) \(\;x^2+6x<0\)
1. Разложим на множители
\[ x^2+6x=x(x+6) \]
Получаем:
\[ x(x+6)<0 \]
2. Найдём корни
\[ x=0,\qquad x+6=0\Rightarrow x=-6 \]
Отмечаем корни в порядке:
\[ -6 \qquad 0 \]
3. Определяем знаки
\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty;-6) & (-6;0) & (0;+\infty)\\ \hline x(x+6) & + & - & + \end{array} \]
Нужно выражение меньше нуля, поэтому берём промежуток со знаком «минус»:
\[ \boxed{x\in(-6;0)} \]
б) \(\;x^2-7x>0\)
1. Разложим на множители
\[ x^2-7x=x(x-7) \]
Получаем:
\[ x(x-7)>0 \]
2. Найдём корни
\[ x=0,\qquad x-7=0\Rightarrow x=7 \]
3. Определяем знаки
\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty;0) & (0;7) & (7;+\infty)\\ \hline x(x-7) & + & - & + \end{array} \]
Нужно выражение больше нуля, поэтому берём промежутки со знаком «плюс»:
\[ \boxed{x\in(-\infty;0)\cup(7;+\infty)} \]
в) \(\;x^2+x-12<0\)
1. Разложим на множители
Нужно найти два числа, произведение которых равно \(-12\), а сумма равна \(1\):
\[ 4\cdot(-3)=-12,\qquad 4+(-3)=1 \]
Поэтому:
\[ x^2+x-12=(x+4)(x-3) \]
Получаем:
\[ (x+4)(x-3)<0 \]
2. Найдём корни
\[ x+4=0\Rightarrow x=-4 \]
\[ x-3=0\Rightarrow x=3 \]
3. Определяем знаки
\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty;-4) & (-4;3) & (3;+\infty)\\ \hline (x+4)(x-3) & + & - & + \end{array} \]
Нужно выражение меньше нуля:
\[ \boxed{x\in(-4;3)} \]
г) \(\;x^2-2x-3>0\)
1. Разложим на множители
Нужно найти два числа, произведение которых равно \(-3\), а сумма равна \(-2\):
\[ -1\cdot3=-3,\qquad -1+3=2 \]
Для среднего коэффициента \(-2\) используем числа \(-3\) и \(1\):
\[ -3\cdot1=-3,\qquad -3+1=-2 \]
Значит:
\[ x^2-2x-3=(x-3)(x+1) \]
Получаем:
\[ (x-3)(x+1)>0 \]
2. Найдём корни
\[ x-3=0\Rightarrow x=3 \]
\[ x+1=0\Rightarrow x=-1 \]
3. Определяем знаки
\[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty;-1) & (-1;3) & (3;+\infty)\\ \hline (x+1)(x-3) & + & - & + \end{array} \]
Нужно выражение больше нуля:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)} \]
Ответ
\[ \boxed{\text{а) }x\in(-6;0)} \]
\[ \boxed{\text{б) }x\in(-\infty;0)\cup(7;+\infty)} \]
\[ \boxed{\text{в) }x\in(-4;3)} \]
\[ \boxed{\text{г) }x\in(-\infty;-1)\cup(3;+\infty)} \]
Главное правило: для параболы с положительным старшим коэффициентом знак «минус» находится между корнями, а знак «плюс» — снаружи.
