Проверь мои ответы на 2, 6 и 10

№ 1

Так как \(DF\) — средняя линия треугольника \(ABC\), точки \(D\) и \(F\) — середины сторон \(AC\) и \(AB\). Поэтому:

\[ AD=\frac12 AC,\qquad AF=\frac12 AB. \]

Треугольники \(ADF\) и \(ABC\) подобны с коэффициентом подобия \(\frac12\). Их площади относятся как квадраты коэффициента:

\[ \frac{S_{ADF}}{S_{ABC}}=\left(\frac12\right)^2=\frac14. \]

По условию \(S_{ADF}=16\), значит:

\[ S_{ABC}=16\cdot4=64. \]

Ответ: \(64\).

---

№ 3

Пусть сторона квадратного основания призмы равна \(a\), а высота призмы — \(h\).

Диагональ основания:

\[ BD=a\sqrt2. \]

По теореме Пифагора для пространственной диагонали \(BD_1\):

\[ BD_1^2=BD^2+DD_1^2=2a^2+h^2. \]

По условию \(BD_1=2AD=2a\), поэтому:

\[ 2a^2+h^2=4a^2, \]

\[ h^2=2a^2. \]

Рассмотрим векторы диагоналей:

\[ \vec{BD_1}=(-a;a;h),\qquad \vec{AC_1}=(a;a;h). \]

Их скалярное произведение:

\[ \vec{BD_1}\cdot\vec{AC_1} =-a^2+a^2+h^2=h^2=2a^2. \]

Длины обеих диагоналей равны \(2a\). Тогда:

\[ \cos\varphi= \frac{2a^2}{2a\cdot2a} =\frac12. \]

Следовательно,

\[ \varphi=60^\circ. \]

Ответ: \(60^\circ\).

---

№ 4

Всего выступают \(25\) спортсменов, из них \(11\) — из Колумбии.

Каждый спортсмен с одинаковой вероятностью может оказаться двенадцатым. Поэтому вероятность того, что двенадцатым выступит спортсмен из Колумбии:

\[ P=\frac{11}{25}=0{,}44. \]

Ответ: \(0{,}44\).

---

№ 5

Пусть всего взрослых жителей \(100\%\).

Мужчины составляют \(48\%\), значит женщины:

\[ 100\%-48\%=52\%. \]

Пенсионеры среди женщин:

\[ 52\%\cdot20\%=0{,}52\cdot0{,}2=0{,}104, \]

то есть \(10{,}4\%\) всего взрослого населения.

Всего пенсионеров \(17{,}6\%\), поэтому пенсионеры-мужчины составляют:

\[ 17{,}6\%-10{,}4\%=7{,}2\%. \]

Теперь найдём вероятность того, что выбранный мужчина — пенсионер:

\[ P=\frac{7{,}2\%}{48\%} =\frac{0{,}072}{0{,}48} =0{,}15. \]

Ответ: \(0{,}15\).

Ответы:

1. \(64\)
2. \(60^\circ\)
3. \(0{,}44\)
4. \(0{,}15\)