Реши задание на изображении

Краткие ответы

1. а) на 3: 360, 8211; б) на 9: 360.
2. а) на 5: 970, 325; б) на 2: 970, 538, 122.
3. \(4752=2^4\cdot3^3\cdot11\).
4. \(\operatorname{НОД}(420;1400)=140\), \(\operatorname{НОК}(312;468)=936\).
5. Да, делится на 9.
6. Да, числа 14 и 25 взаимно простые.
7. 28 учащихся.
8. \(\boxed{520}\).

Решение

1. Признаки делимости на 3 и 9

Складываем цифры чисел:

• \(360: 3+6+0=9\) — делится и на 3, и на 9;
• \(4325: 4+3+2+5=14\) — не делится;
• \(8211: 8+2+1+1=12\) — делится на 3, но не на 9;
• \(1435: 1+4+3+5=13\) — не делится.

Ответ:
а) \(360, 8211\);
б) \(360\).

2. Признаки делимости на 5 и 2

На 5 делятся числа, оканчивающиеся на \(0\) или \(5\).
На 2 делятся чётные числа.

Ответ:
а) \(970, 325\);
б) \(970, 538, 122\).

3. Разложение на простые множители

\[ 4752=2\cdot2376=2^2\cdot1188=2^3\cdot594 =2^4\cdot297 \]

\[ 297=3\cdot99=3^2\cdot33=3^3\cdot11 \]

Следовательно,

\[ \boxed{4752=2^4\cdot3^3\cdot11}. \]

Проверка:

\[ 16\cdot27\cdot11=4752. \]

4. НОД и НОК

Разложим числа:

\[ 420=2^2\cdot3\cdot5\cdot7, \qquad 1400=2^3\cdot5^2\cdot7. \]

Общие множители с наименьшими степенями:

\[ \operatorname{НОД}(420;1400)=2^2\cdot5\cdot7=\boxed{140}. \]

Далее:

\[ 312=2^3\cdot3\cdot13, \qquad 468=2^2\cdot3^2\cdot13. \]

Для НОК берём все множители с наибольшими степенями:

\[ \operatorname{НОК}(312;468)=2^3\cdot3^2\cdot13 =8\cdot9\cdot13=\boxed{936}. \]

5. Перестановка цифр

Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

При перестановке цифр сумма цифр не изменяется. Поэтому новое число также будет делиться на 9.

Ответ: да, будет делиться.

6. Взаимно простые числа

\[ 14=2\cdot7,\qquad 25=5^2. \]

Общих простых множителей нет, поэтому

\[ \operatorname{НОД}(14;25)=1. \]

Ответ: числа 14 и 25 взаимно простые.

7. Задача про мандарины и апельсины

Количество учащихся должно быть общим делителем чисел \(84\) и \(56\):

\[ \operatorname{НОД}(84;56)=28. \]

Общие делители не превосходят 28, а по условию учащихся больше 25. Значит,

\[ \boxed{28\text{ учащихся}}. \]

Проверка:

\[ 84:28=3,\qquad 56:28=2. \]

Каждый получил по 3 мандарина и 2 апельсина.

8. Разность НОК и НОД

\[ \operatorname{НОД}(15;25;35)=5, \]

\[ \operatorname{НОК}(15;25;35)=3\cdot5^2\cdot7=525. \]

Тогда:

\[ 525-5=\boxed{520}. \]