Реши

Краткие ответы

12) \(P=38\)
13) \(\angle ABC=110^\circ\)
14) \(ABCD\) — трапеция, так как \(AD\parallel BC\).

12. Периметр трапеции

Дано:

\[ AB=10,\quad BC=7,\quad AH=6,\quad BH=8,\quad CD=8. \]

Так как \(BH\) — высота трапеции, расстояние между основаниями равно \(8\). Отрезок \(CD\) тоже равен \(8\), значит, он перпендикулярен основаниям. Поэтому \(BHCD\) — прямоугольник, и

\[ HD=BC=7. \]

Тогда большое основание:

\[ AD=AH+HD=6+7=13. \]

Периметр:

\[ P=AB+BC+CD+AD \]

\[ P=10+7+8+13=38. \]

Ответ: \(\boxed{38}\).

Проверка:

\[ 6^2+8^2=36+64=100=10^2, \]

значит, данные согласуются с прямоугольным треугольником \(ABH\).

13. Найдём \(\angle ABC\)

Так как \(AD\parallel BC\), соседние углы при боковой стороне \(CD\) supplementary:

\[ \angle BCD=180^\circ-55^\circ=125^\circ. \]

По условию:

\[ \angle ACD=90^\circ. \]

Диагональ \(AC\) делит угол \(BCD\), поэтому

\[ \angle BCA=125^\circ-90^\circ=35^\circ. \]

По отметкам:

\[ AB=BC, \]

значит, треугольник \(ABC\) равнобедренный, и

\[ \angle BAC=\angle BCA=35^\circ. \]

Тогда

\[ \angle ABC=180^\circ-35^\circ-35^\circ=110^\circ. \]

Ответ: \(\boxed{110^\circ}\).

Проверка:

\[ 35^\circ+110^\circ+35^\circ=180^\circ. \]

14. Доказательство

По отметкам на рисунке:

\[ \angle DAC=\angle ACB. \]

Это накрест лежащие углы при пересечении прямых \(AD\) и \(BC\) секущей \(AC\). Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны:

\[ AD\parallel BC. \]

Следовательно, у четырёхугольника \(ABCD\) есть пара параллельных сторон, значит, \(ABCD\) — трапеция.

Кроме того, \(AD=7\), а \(BC=5\), поэтому это не параллелограмм.