реши все нерешенные номера с объяснением
Краткие ответы:
- \(64\); 3) \(60^\circ\); 5) \(0{,}15\); 7) см. уточнение ниже; 8) \(3\); 9) \(360\); 11) \(-78\); 12) \(-1\).
1
\(DF\) — средняя линия треугольника, поэтому
\[ DF\parallel CB,\qquad \frac{AD}{AC}=\frac{AF}{AB}=\frac12. \]
Треугольники \(ADF\) и \(ABC\) подобны с коэффициентом \(\frac12\). Площади относятся как квадраты коэффициентов:
\[ \frac{S_{ADF}}{S_{ABC}}=\left(\frac12\right)^2=\frac14. \]
\[ S_{ABC}=16\cdot4=\boxed{64}. \]
3
Пусть сторона основания \(AD=a\), а высота призмы равна \(h\).
Пространственная диагональ:
\[ BD_1^2=2a^2+h^2. \]
По условию \(BD_1=2AD=2a\), значит
\[ 2a^2+h^2=4a^2, \qquad h^2=2a^2. \]
Рассмотрим направляющие векторы диагоналей:
\[ \overrightarrow{DB_1}=(a,-a,h),\qquad \overrightarrow{AC_1}=(a,a,h). \]
Их скалярное произведение:
\[ \overrightarrow{DB_1}\cdot\overrightarrow{AC_1} =a^2-a^2+h^2=2a^2. \]
Длины обоих векторов равны \(2a\). Поэтому
\[ \cos\varphi=\frac{2a^2}{(2a)(2a)}=\frac12. \]
\[ \boxed{\varphi=60^\circ}. \]
5
Возьмём 100 взрослых жителей.
- мужчин — \(48\);
- женщин — \(52\);
- пенсионеров всего — \(17{,}6\);
- пенсионеров среди женщин:
\[ 52\cdot0{,}2=10{,}4. \]
Тогда мужчин-пенсионеров:
\[ 17{,}6-10{,}4=7{,}2. \]
Искомая вероятность:
\[ P=\frac{7{,}2}{48}=0{,}15. \]
\[ \boxed{0{,}15} \]
7
Дроби в этом номере на фотографии читаются неоднозначно.
Если выражение записано так:
\[ 5^{\frac34}\cdot25^{\frac18}, \]
то
\[ 25^{\frac18}=(5^2)^{\frac18}=5^{\frac14}, \]
\[ 5^{\frac34}\cdot5^{\frac14}=5^1=\boxed{5}. \]
Если же действительно написано
\[ 5^{\frac89}\cdot25^{\frac18}, \]
то
\[ 5^{\frac89}\cdot5^{\frac14} =5^{\frac{32}{36}+\frac9{36}} =\boxed{5^{\frac{41}{36}}}. \]
8
Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной:
\[ f'(x_0)=k. \]
По графику при увеличении \(x\) на \(1\) касательная поднимается на \(3\) единицы, поэтому
\[ \boxed{f'(x_0)=3}. \]
9
Используем формулу:
\[ f=f_0\frac{c+u}{c-v}. \]
Подставим данные:
\[ 130=120\cdot\frac{c+17}{c-12}. \]
\[ \frac{13}{12}=\frac{c+17}{c-12}. \]
\[ 13(c-12)=12(c+17), \]
\[ 13c-156=12c+204, \]
\[ c=360. \]
\[ \boxed{360\text{ м/с}} \]
11
По графику вершина параболы имеет координаты \((4;3)\), а коэффициент при \(x^2\) равен \(-1\). Поэтому
\[ f(x)=-(x-4)^2+3. \]
Найдём значение при \(x=13\):
\[ f(13)=-(13-4)^2+3=-9^2+3=-81+3=-78. \]
\[ \boxed{-78} \]
12
\[ y=(x+3)^2e^{4-x}. \]
Найдём производную:
\[ y'=2(x+3)e^{4-x}-(x+3)^2e^{4-x}. \]
Вынесем общий множитель:
\[ y'=e^{4-x}(x+3)\bigl(2-(x+3)\bigr) =-e^{4-x}(x+3)(x+1). \]
Критические точки:
\[ x=-3,\qquad x=-1. \]
В точке \(x=-3\) функция имеет минимум, а в точке \(x=-1\) — максимум.
\[ \boxed{x=-1} \]
Вписанные на фото ответы №2, №4, №6 и №10 также верны.
