реши все нерешенные номера с объяснением

13а

Решим уравнение:

\[ \log_{49}\left(7^{2x}-5\sqrt2\cos x-6\sin^2x-2\right)=x. \]

По определению логарифма:

\[ 7^{2x}-5\sqrt2\cos x-6\sin^2x-2=49^x=7^{2x}. \]

Сокращаем \(7^{2x}\):

\[ -5\sqrt2\cos x-6\sin^2x-2=0, \]

\[ 6\sin^2x+5\sqrt2\cos x+2=0. \]

Пусть \(t=\cos x\), тогда \(\sin^2x=1-t^2\):

\[ 6(1-t^2)+5\sqrt2t+2=0, \]

\[ 6t^2-5\sqrt2t-8=0. \]

Находим корни:

\[ t=\frac{5\sqrt2\pm\sqrt{50+192}}{12} =\frac{5\sqrt2\pm11\sqrt2}{12}. \]

Получаем:

\[ t=\frac{4\sqrt2}{3} \quad\text{или}\quad t=-\frac{\sqrt2}{2}. \]

Первое значение невозможно, так как \(|\cos x|\le 1\). Поэтому

\[ \cos x=-\frac{\sqrt2}{2}. \]

Отсюда:

\[ \boxed{x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z}. \]

13б

Найдём корни на отрезке

\[ \left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]. \]

Из общего решения подходит только значение

\[ \boxed{x=-\frac{5\pi}{4}}. \]

15

Решим неравенство:

\[ \log_7(11x^2+10)-\log_7(x^2+x+1) \ge \log_7\left(\frac{x}{x+8}+10\right). \]

1. ОДЗ

Первые два выражения положительны при всех \(x\):

\[ 11x^2+10>0, \]

\[ x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0. \]

Для третьего логарифма:

\[ \frac{x}{x+8}+10 =\frac{11x+80}{x+8}>0. \]

Отсюда:

\[ x\in\left(-\infty;-8\right)\cup \left(-\frac{80}{11};+\infty\right). \]

2. Объединим логарифмы

Так как \(7>1\), знак неравенства сохраняется:

\[ \log_7\frac{11x^2+10}{x^2+x+1} \ge \log_7\frac{11x+80}{x+8}. \]

Следовательно,

\[ \frac{11x^2+10}{x^2+x+1} \ge \frac{11x+80}{x+8}. \]

Перенесём всё в левую часть:

\[ \frac{(11x^2+10)(x+8)-(11x+80)(x^2+x+1)} {(x^2+x+1)(x+8)}\ge0. \]

После упрощения:

\[ \frac{-3x(x+27)} {(x^2+x+1)(x+8)}\ge0. \]

Так как \(x^2+x+1>0\), решаем:

\[ \frac{-x(x+27)}{x+8}\ge0. \]

Критические точки:

\[ x=-27,\qquad x=-8,\qquad x=0. \]

С учётом ОДЗ получаем:

\[ \boxed{x\in(-\infty;-27]\cup \left(-\frac{80}{11};0\right]}. \]

Определение логарифма:

\[ \log_a b=c \quad\Longleftrightarrow\quad a^c=b, \]

где \(a>0\), \(a\ne1\), \(b>0\).

То есть логарифм показывает, в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить число под логарифмом.

В №13:

\[ \log_{49}\left(7^{2x}-5\sqrt2\cos x-6\sin^2x-2\right)=x. \]

Здесь основание \(49\), поэтому по определению:

\[ 7^{2x}-5\sqrt2\cos x-6\sin^2x-2=49^x. \]

А так как

\[ 49^x=(7^2)^x=7^{2x}, \]

получаем:

\[ 7^{2x}-5\sqrt2\cos x-6\sin^2x-2=7^{2x}. \]

Именно поэтому одинаковые \(7^{2x}\) сокращаются.

В 13-м после замены

\[ t=\cos x \]

получили квадратное уравнение:

\[ 6t^2-5\sqrt2\,t-8=0. \]

Здесь:

\[ a=6,\qquad b=-5\sqrt2,\qquad c=-8. \]

Находим дискриминант:

\[ D=b^2-4ac=(-5\sqrt2)^2-4\cdot6\cdot(-8). \]

\[ D=25\cdot2+192=50+192=242=121\cdot2, \]

\[ \sqrt D=11\sqrt2. \]

По формуле корней:

\[ t=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a} =\frac{5\sqrt2\pm11\sqrt2}{12}. \]

Получаем два корня:

\[ t_1=\frac{5\sqrt2+11\sqrt2}{12} =\frac{16\sqrt2}{12} =\frac{4\sqrt2}{3}, \]

\[ t_2=\frac{5\sqrt2-11\sqrt2}{12} =\frac{-6\sqrt2}{12} =-\frac{\sqrt2}{2}. \]

Но \(t=\cos x\), а косинус не может быть больше 1:

\[ \frac{4\sqrt2}{3}>1, \]

поэтому первый корень не подходит.

Остаётся:

\[ \cos x=-\frac{\sqrt2}{2}. \]

Отсюда:

\[ \boxed{x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z}. \]

На отрезке \(\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]\) подходит только

\[ \boxed{x=-\frac{5\pi}{4}}. \]

Потому что используется основное тригонометрическое тождество:

\[ \sin^2 x+\cos^2 x=1. \]

Выразим \(\sin^2 x\):

\[ \sin^2 x=1-\cos^2 x. \]

Мы сделали замену:

\[ t=\cos x. \]

Значит,

\[ \cos^2 x=t^2. \]

Поэтому:

\[ \boxed{\sin^2 x=1-t^2}. \]

Именно это подставили в уравнение:

\[ 6\sin^2x+5\sqrt2\cos x+2=0, \]

получив:

\[ 6(1-t^2)+5\sqrt2t+2=0. \]

После подстановки получили:

\[ 6(1-t^2)+5\sqrt2t+2=0. \]

Раскроем скобки:

\[ 6-6t^2+5\sqrt2t+2=0. \]

Сложим числа \(6\) и \(2\):

\[ -6t^2+5\sqrt2t+8=0. \]

Чтобы коэффициент при \(t^2\) был положительным, умножаем всё уравнение на \(-1\):

\[ \boxed{6t^2-5\sqrt2t-8=0}. \]

Поэтому и появился \(-8\): сначала было \(+8\), а после умножения всего уравнения на \(-1\) стало \(-8\).

В пункте 13б нужно выбрать из общего решения только те \(x\), которые попадают в отрезок

\[ \left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]. \]

Общее решение:

\[ x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k, \qquad k\in\mathbb Z. \]

Первая серия

Проверяем целые \(k\):

• при \(k=-1\):

\[ x=\frac{3\pi}{4}-2\pi =\frac{3\pi}{4}-\frac{8\pi}{4} =-\frac{5\pi}{4}. \]

Это число входит в отрезок:

\[ -\frac{5\pi}{2}\le -\frac{5\pi}{4}\le-\pi. \]

• при \(k=-2\):

\[ x=\frac{3\pi}{4}-4\pi=-\frac{13\pi}{4}, \]

это уже меньше, чем \(-\frac{5\pi}{2}\).

Вторая серия

Ближайшие значения:

\[ k=-1:\quad x=\frac{5\pi}{4}-2\pi=-\frac{3\pi}{4}, \]

но \(-\frac{3\pi}{4}>-\pi\), поэтому число не входит в отрезок.

\[ k=-2:\quad x=\frac{5\pi}{4}-4\pi=-\frac{11\pi}{4}, \]

это меньше, чем \(-\frac{5\pi}{2}\).

Значит, на заданном отрезке только один корень:

\[ \boxed{x=-\frac{5\pi}{4}}. \]

На единичной окружности \(\cos x\) — это абсцисса, то есть \(x\)-координата точки.

Нужно найти:

\[ \cos x=-\frac{\sqrt2}{2}. \]

1. Число \(\frac{\sqrt2}{2}\) соответствует углу \(\frac{\pi}{4}\).
2. Знак «минус» означает левую половину окружности.
3. Поэтому точки находятся во II и III четвертях:

\[ x=\frac{3\pi}{4} \quad\text{и}\quad x=\frac{5\pi}{4}. \]

В отрицательных углах это те же точки:

\[ \frac{3\pi}{4}-2\pi=-\frac{5\pi}{4}, \]

\[ \frac{5\pi}{4}-2\pi=-\frac{3\pi}{4}. \]

Теперь проверяем отрезок:

\[ \left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]. \]

\[ -\frac{5\pi}{2}\le -\frac{5\pi}{4}\le-\pi, \]

поэтому это подходит.

А

\[ -\frac{3\pi}{4}>-\pi, \]

значит, оно не входит в отрезок.

Итак, на круге подходит точка во II четверти:

\[ \boxed{x=-\frac{5\pi}{4}}. \]