Объясни как решать квадратные уравнения
Кратко
Квадратное уравнение имеет вид
\[ ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0. \]
Основной способ решения:
- Найти дискриминант: \[ D=b^2-4ac. \]
- Определить количество корней:
- \(D>0\) — два корня;
- \(D=0\) — один корень;
- \(D<0\) — действительных корней нет.
- При \(D\ge 0\) использовать формулу: \[ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}. \]
Как решать по шагам
Рассмотрим уравнение:
\[ 2x^2-3x-2=0. \]
Здесь:
\[ a=2,\qquad b=-3,\qquad c=-2. \]
1. Находим дискриминант:
\[ D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25. \]
2. Так как \(D>0\), будет два корня.
3. Подставляем в формулу:
\[ x_{1,2}=\frac{-(-3)\pm\sqrt{25}}{2\cdot2} =\frac{3\pm5}{4}. \]
Получаем:
\[ x_1=\frac{3+5}{4}=2, \]
\[ x_2=\frac{3-5}{4}=-\frac12. \]
Ответ:
\[ \boxed{x_1=2,\qquad x_2=-\frac12}. \]
Как проверить ответ
Подставим корни в исходное уравнение:
Для \(x=2\):
\[ 2\cdot2^2-3\cdot2-2=8-6-2=0. \]
Для \(x=-\frac12\):
\[ 2\cdot\left(-\frac12\right)^2-3\cdot\left(-\frac12\right)-2 =\frac12+\frac32-2=0. \]
Оба корня подходят.
Полезные особые случаи
Если уравнение выглядит проще, можно решить его без дискриминанта.
Например:
\[ x^2-9=0. \]
Это разность квадратов:
\[ (x-3)(x+3)=0. \]
Значит,
\[ x=3\quad\text{или}\quad x=-3. \]
Также корни можно быстро проверить по теореме Виета:
\[ x_1+x_2=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac ca. \]
Для уравнения \(2x^2-3x-2=0\):
\[ 2+\left(-\frac12\right)=\frac32=-\frac{-3}{2}, \]
\[ 2\cdot\left(-\frac12\right)=-1=\frac{-2}{2}. \]
Значит, корни найдены верно.
