59.сократи для записи в тетради

Краткий ответ: через точку \(A\) проходит единственная плоскость \(\beta\parallel\alpha\).

Доказательство для записи:

В плоскости \(\alpha\) проведём пересекающиеся прямые \(a\) и \(b\). Через точку \(A\) проведём прямые \(a_1\parallel a\) и \(b_1\parallel b\). Они определяют плоскость \(\beta\).

Так как в плоскости \(\beta\) лежат две пересекающиеся прямые, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым плоскости \(\alpha\), то
\[ \beta\parallel\alpha. \]

Докажем единственность. Пусть существует другая плоскость через \(A\), параллельная \(\alpha\). Она пересекает \(\beta\), а значит, по свойству параллельных плоскостей, пересекает и \(\alpha\), что невозможно. Следовательно, такая плоскость только одна. \(\square\)