Реши задание на изображении

Краткие ответы:

1. а) \(2^{40}\); б) \(2^{64}\).
2. а) \(8\); б) \(343\).

Задание 1. Представьте в виде степени с основанием \(2\)

Используем равенства \(16=2^4\) и \(256=2^8\), а затем правило \((a^m)^n=a^{mn}\).

а)
\[ 16^{10}=(2^4)^{10}=2^{4\cdot 10}=\boxed{2^{40}}. \]

б)
\[ 256^8=(2^8)^8=2^{8\cdot 8}=\boxed{2^{64}}. \]

Задание 2. Вычислите

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а при делении — вычитаются.

а)
\[ \frac{(2^3)^{10}\cdot(2^2)^2}{2^{31}} =\frac{2^{30}\cdot2^4}{2^{31}} =2^{30+4-31} =2^3 =\boxed{8}. \]

б)
Представим \(49\) и \(343\) как степени числа \(7\): \(49=7^2\), \(343=7^3\).

\[ \frac{7^{14}\cdot49}{343\cdot(7^5)^2} =\frac{7^{14}\cdot7^2}{7^3\cdot7^{10}} =7^{14+2-3-10} =7^3 =\boxed{343}. \]

Проверка: \(7^3=7\cdot7\cdot7=343\).

Задание 3*. Докажите свойство возведения степени в степень

Пусть \(m\) и \(n\) — натуральные числа. Степень \(a^m\), возведённая в степень \(n\), означает произведение \(n\) одинаковых множителей \(a^m\):

\[ (a^m)^n= \underbrace{a^m\cdot a^m\cdots a^m}_{n\text{ множителей}}. \]

В этом произведении всего \(m\cdot n\) множителей \(a\), поэтому

\[ \boxed{(a^m)^n=a^{mn}}. \]